Задача: максимум функции $f(x,y)=xy$ при ограничении $x^2+y^2=1$. Ответ: максимальное значение $1/2$ достигается при $x=y=1/\sqrt{2}$. Ниже три метода с краткими объяснениями и преимуществами.
1) Замена (параметризация)
- Подставим круг в тригонометрию: $x=\cos t,y=\sin t$. Тогда
$$f(t)=\cos t\sin t=\frac{1}{2}\sin (2t).$$ - Максимум $\frac{1}{2}$ при $\sin (2t)=1\Rightarrow 2t=\frac{\pi }{2}+2\pi k\Rightarrow t=\frac{\pi }{4}+\pi k$. Отсюда $x=y=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$, положительный максимум при $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$.
Плюсы: быстро, минимальные вычисления, хорош для начинающих, использующих тригонометрию.
2) Классическая подстановка (одна переменная)
- Из ограничения $y=\pm \sqrt{1-x^2}$. Рассмотрим $y=+\sqrt{1-x^2}$ (для положительного максимума):
$$g(x)=x\sqrt{1-x^2},x\in [-1,1].$$ - Производная: $g^{\prime }(x)=\sqrt{1-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}$. Критические точки при $1-2x^2=0\Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. Подстановка даёт $g=\pm \frac{1}{2}$ соответственно.
Плюсы: показывает редукцию к одной переменной, полезно для практики дифференцирования и работы с краями отрезка.
3) Метод Лагранжа
- Функция Лагранжа $\mathcal{L}(x,y,\lambda )=xy+\lambda (1-x^2-y^2)$. Система уравнений градиента:
$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=y-2\lambda x=0,\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=x-2\lambda y=0,x^2+y^2=1.$$ - Из первых двух: $y=2\lambda x$ и $x=2\lambda y$. Если умножить, получаем $xy=(2\lambda {)}^{2}xy$. Либо $xy=0$ (даёт меньшие значения), либо $(2\lambda {)}^2=1\Rightarrow 2\lambda =\pm 1$. Для $2\lambda =1$ из $y=x$ и $x^2+y^2=1\Rightarrow x=y=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. Оценка даёт максимум $\frac{1}{2}$, минимум $-\frac{1}{2}$.
Плюсы: общий метод для ограничений, формализует условие касания уровнях функции и множителей; полезен для студентов, знакомых с многопеременной дифференциальностью и линейной алгеброй.
4) Геометрическая интерпретация
- Левел‑кривые $xy=c$ — гиперболы; при росте $c$ гипербола сдвигается так, что сильней прикасается к единичному кругу. Точка касания соответствует максимальному $c$. На круге параметризация даёт $xy=\frac{1}{2}\sin (2t)$, откуда максимум $\frac{1}{2}$ при $t=\frac{\pi }{4}$.
Плюсы: даёт интуицию (касание гиперболы и круга, симметрия), полезно для визуализации и глубокого понимания структуры задачи.
Короткое сравнение для студентов
- Начальный уровень: параметризация $x=\cos t,y=\sin t$ — самый простой и наглядный путь.
- Средний уровень: подстановка $y=\sqrt{1-x^2}$ — хороша для практики производных и работы с граничными значениями.
- Продвинутый уровень: метод Лагранжа — универсален для сложных ограничений; геометрия — для интуиции и визуализации.
Итог: максимум $f_{\max }=\frac{1}{2}$ при $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$; минимум $f_{\min }=-\frac{1}{2}$ при $x=-y=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.