Кратко и по существу.
Определения и критерий:
- Последовательность функций $f_n:D\to \mathbb{R}$ сходится поточечно на $D$ к $f$, если для каждого $x\in D$ ${\lim }_{n\to \infty }{f}_n(x)=f(x)$.
- Сходится равномерно, если $\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{x\in D}{\sup }|f_n(x)-f(x)|=0$. Эквивалентно: для любого $\epsilon >0$ существует $N$ такое, что для всех $n\ge N$ и всех $x\in D$ выполняется $|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$.
Пример поточечной, но не равномерной сходимости:
- Возьмём $f_n:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f_n(x)=x^n$. Тогда
$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=\{\begin{array}{ll}0,& 0\le x<1,\\ 1,& x=1.\end{array}$ Поточечная сходимость есть, но ${\sup }_{x\in [0,1]}|f_n(x)-f(x)|={\sup }_{x\in [0,1)}{x}^n=1$ для всех $n$ (супремум не убывает до нуля), значит сходимость неравномерна. Замечание: предел $f$ разрывен, хотя все $f_n$ непрерывны — демонстрация, что поточечная сходимость не сохраняет непрерывность.
Последствия для предельных операций:
- Интегрирование: если $f_n$ непрерывны на компактном отрезке $[a,b]$ и $f_n\to f$ равномерно, то
$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_a^b{f}_n(x)dx={\int }_a^b\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx.$ При только поточечной сходимости это не обязательно: пример
$f_n(x)=\{\begin{array}{ll}n,& 0\le x\le \frac{1}{n},\\ 0,& \frac{1}{n}<x\le 1,\end{array}$ тогда $f_n(x)\to 0$ для всех $x\in (0,1]$ (а в $0$ тоже можно считать предел $0$), но ${\int }_0^1{f}_n(x)dx=1$ для всех $n$, так что $\lim \int f_n\ne \int \lim f_n$.
- Дифференцирование: общий достаточный критерий: если каждая $f_n$ дифференцируема на $[a,b]$, при этом $f_n^{\prime }(x)$ сходится равномерно к $g(x)$ и существует точка $x_0$ с поточечной (или равномерной) сходимостью $f_n(x_0)$, то $f_n$ сходится равномерно к функции $f$, причем $f^{\prime }\equiv g$ и
$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)$ равномерно.
При отсутствии равномерной сходимости производных перенос предела на производную может не быть допустим: пример
$f_n(x)=\sqrt{x^2+\frac{1}{n}}$ на $[-1,1]$. Тогда $f_n\to f$ равномерно, где $f(x)=|x|$. Но
$f_n^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1/n}}$ не сходится равномерно (предел равен $\mathrm{sgn}(x)$, разрывную функцию), и $f$ не дифференцируема в $0$. Таким образом, даже равномерная сходимость $f_n$ сама по себе не гарантирует возможность почленно переходить к производной — требуется равномерная сходимость производных.
Краткие выводы:
- Равномерная сходимость сильнее поточечной; она сохраняет непрерывность и разрешает перестановку предела с интегралом; для дифференцирования требуется дополнительно равномерная сходимость производных (и контроль в одной точке по значению).
- Поточечная сходимость этих свойств не гарантирует — приведены контрпримеры.