Краткий ответ: нет — при большой выборке среднее не всегда приближается к медиане. Каждое из них сходится к своей «популяционной» характеристике, и эти характеристики обычно различны, если распределение асимметрично или имеет тяжёлые хвосты.
Пояснения и формулы:
- Обозначим выборочное среднее $\bar{X}$, выборочную медиану $\tilde{X}$, популяционное (математическое) ожидание $\mu$ и популяционную медиану $m$.
- При обычных условиях (существует конечное математическое ожидание и/или плотность в окрестности медианы) по ЗБЧ и свойствам оценок:
$\bar{X}\stackrel{P}{}\mu ,$ $\tilde{X}\stackrel{P}{}m.$ Значит предел их разности — $\mu -m$, а не обязательно ноль.
- Асимптотические дисперсии (для непрерывной плотности $f$ в точке медианы и конечной дисперсии ${\sigma }^2$):
$\mathrm{Var}(\bar{X})\approx \frac{{\sigma }^2}{n},$ $\mathrm{Var}(\tilde{X})\approx \frac{1}{4nf(m{)}^2}.$ Поэтому $\sqrt{n}(\bar{X}-\tilde{X}-(\mu -m))$ имеет асимптотически нормальное распределение (при обычных условиях).
Контрпримеры:
1. Экспоненциальное распределение $\mathrm{Exp}(\lambda )$: $\mu =1/\lambda ,m=(\ln 2)/\lambda$. Для $\lambda =1$: $\mu -m=1-\ln 2\approx 0.3069$. При $n\to \infty$ $\bar{X}\to 1$, $\tilde{X}\to \ln 2$ — они не совпадают.
2. Тяжёлые хвосты — Парето с параметром $\alpha \le 1$: популяционное среднее не существует (бесконечно), а медиана конечна. Тогда $\bar{X}$ не сходится (или расходится), а $\tilde{X}$ сходится к конечной медиане.
3. Коши (Cauchy): математического ожидания нет, выборочное среднее непостоянно при росте $n$, медиана же сходится к популяционной медиане. Значит среднее не приближается к медиане.
Роль распределения:
- Симметричное распределение вокруг точки $a$ даёт $\mu =m=a$ — тогда при больших $n$ $\bar{X}$ и $\tilde{X}$ оба сходятся к одному значению.
- Асимметрия (скошенность) даёт отличия $\mu \ne m$ → разность сохраняется при больших $n$.
- Тяжёлые хвосты или отсутствие моментов нарушают сходимость среднего, медиана более робустна к хвостам.
- Многомодальность: медиана может лежать в низкоплотной зоне между пиками, а среднее — между пиками иначе; оба устойчивы, но к разным характеристикам распределения.
Вывод: утверждение верно только в частных случаях (например, симметрия или $\mu =m$). В общем — неверно; нужно смотреть на форму распределения (асимметрию, плотность в медиане, наличие моментов).