Короткий ответ:
- В натуральных (положительных) числах уравнение $x^3+y^3=z^3$ не имеет нетривиальных решений (т. е. нет решений с $x,y,z>0$).
- Если считать целые числа с нулём, то тривиальные решения — перестановки $(x,y,z)=(t,0,t)$ и т. п.; с отрицательными тоже тривиальные комбинации знаков (например $x=-a,y=a,z=0$).
Какие теоремы и подходы используются (кратко):
1. Общая теорема: Великая теорема Ферма (Fermat’s Last Theorem) утверждает отсутствие нетривиальных целых решений для показателя $n>2$; общее доказательство дал Э. Вайлс (1994). Для $n=3$ существуют более элементарные доказательства, не требующие техники Вайлса.
2. Исторически: для $n=3$ были независимые доказательства (Эйлер и др.). Современный аккуратный и наглядный метод — факторизация в кольце эйзенштейновых целых чисел $\mathbb{Z}[\omega ]$, где $\omega =e^{2\pi i/3}$. Это кольцо — факториальное (UFD), что позволяет аргументировать по простым множителям.
3. Метод бесконечного спуска: после приведения к примитивному решению (gcd$(x,y,z)=1$) строят меньшее решение того же вида, что противоречит минимальности — это классический шаг в доказательствах Эйлера/Legendre для кубов.
Короткий набросок доказательства через $\mathbb{Z}[\omega ]$ (для студентов — основная идея):
- Представим сумму кубов как факторизацию в $\mathbb{Z}[\omega ]$:
$$x^3+y^3=(x+y)(x+\omega y)(x+{\omega }^{2}y).$$ - Для примитивного решения (gcd$(x,y)=1$) эти три множителя попарно взаимно просты в $\mathbb{Z}[\omega ]$ (влияние только множителя 3 отслеживается отдельно). Тогда, поскольку произведение — куб в $\mathbb{Z}[\omega ]$, каждый из множителей должен быть кубом (с учётом единиц). В частности, существует $a+b\omega \in \mathbb{Z}[\omega ]$ такое, что
$$x+\omega y=\epsilon (a+b\omega {)}^3,$$ где $\epsilon$ — единица в $\mathbb{Z}[\omega ]$.
- Разложение по действительной и мнимой частям даёт систему уравнений в целых $a,b$, из которой либо явно получается противоречие, либо через конструкцию меньшего примитивного решения получают бесконечный спуск — противоречие с минимальностью.
Как объяснять студентам (практические советы):
- Начать с простых наблюдений: факторизация $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$ и вычисление gcd$(x+y,x^2-xy+y^2)=$ либо $1$ либо $3$ — это знакомит с идеей разделения множителей.
- Переход к $\mathbb{Z}[\omega ]$ показать на примере: введение $\omega$, почему там факторизация естественна, и что такое UFD (простые примеры и контрпримеры).
- Продемонстрировать схему бесконечного спуска на упрощённой задаче (например, квадраты) прежде чем делать для кубов.
- Указать исторический контекст: FLT обобщает этот частный случай; для $n=3$ доказательства доступны на уровне курса теории чисел, не требуя глубоких модульных форм.
Ресурсы для чтения:
- Классический текст по теории чисел (дроби/кольца вычетов) и главы про факторизацию в $\mathbb{Z}[\omega ]$.
- Статьи/лекции по доказательству Ферма для $n=3$ (поиск по «Fermat n=3 Euler proof» даст хороший учебный материал).
Если хотите, могу привести полный пошаговый доказательный текст (через эйзенштейновы числа или через бесконечный спуск) с подробными вычислениями.