Тезис. Пусть $y=a{x}^2+bx+c$ с $a\ne 0$. Тогда $|y|\to \infty$ при $x\to \pm \infty$.
Формальное доказательство (оценки, «$\epsilon$-стиль» для неравенства). Нужно показать: для произвольного $M>0$ существует $R>0$ такое, что при $|x|>R$ выполняется $|a{x}^2+bx+c|>M$.
1. По неравенству треугольника
$$|a{x}^2+bx+c|\ge |a|x^2-|b||x|-|c|.$$ 2. Для $|x|\ge 1$ имеем $|b||x|\le |b|x^2$, поэтому при дополнительно $|x|\ge 2|b|/|a|$ получаем
$$|b||x|\le \frac{|a|}{2}{x}^2.$$ Следовательно при $|x|\ge R_1:=\max \{1,2|b|/|a|\}$ $$|a{x}^2+bx+c|\ge |a|x^2-\frac{|a|}{2}{x}^2-|c|=\frac{|a|}{2}{x}^2-|c|.$$ 3. Требуем $\frac{|a|}{2}{x}^2-|c|>M$, т.е. $x^2>\frac{2(M+|c|)}{|a|}$. Положим
$$R_2:=\sqrt{\frac{2(M+|c|)}{|a|}}.$$ Тогда для $R:=\max \{R_1,R_2\}$ при $|x|>R$ выполняется $|a{x}^2+bx+c|>M$. Это доказывает требуемое.
Интуитивное доказательство. Делим на $x^2$:
$$\frac{a{x}^2+bx+c}{x^2}=a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}\to a(x\to \pm \infty ).$$ Значит для больших $|x|$ выражение $a{x}^2+bx+c$ по модулю близко к $|a|x^2$, а $|a|x^2\to \infty$. Поэтому $|a{x}^2+bx+c|\to \infty$.
Сравнение и уместность в школьном курсе.
- Интуиция (ведущий член доминирует) достаточно понятна и полезна на устном уровне и при решении задач: даёт быстрое представление о поведении графика.
- Однако даже для школьников полезно иметь простое формальное обоснование-оценку (как выше): она короткая, не требует продвинутого анализа и показывает, как получить конкретные оценки и границы.
- Полная $\epsilon$-$/$ $N$-формулировка предельного определения бесконечности обязательна в курсе математического анализа/университета, но в школе обычно достаточно комбинации интуиции и элементарных неравенств.
Вывод: на уроках лучше сначала дать интуицию (ведущий член), затем короткое формальное доказательство через неравенства (как предложено выше); строгое «$\epsilon$-стиль» целесообразен уже в аналитическом курсе.