Резюме результатов и краткие доказательства.
1) Формулировка задачи. Для заданного периметра $P$ найти многоугольник (обычно предполагают простую и затем выпуклую фигуру) максимальной площади.
2) Общие факты.
- Максимальная по площади фигура среди всех измеримых плоских фигур при фиксированном периметре — круг (изопериметрическая теорема). Для круга при периметре $P$ площадь равна $\frac{P^2}{4\pi }$.
- Среди многоугольников с фиксированным числом сторон $n$ максимальную площадь имеет правильный выпуклый $n$-угольник. Его площадь при периметре $P$:
$$A_n=\frac{P^2}{4n}\cot \frac{\pi }{n}$$ (эквивалентно $A_n=\frac{n{s}^2}{4\tan (\pi /n)}$ при длине стороны $s=P/n$). При $n\to \infty$ получаем предел ${\lim }_{n\to \infty }{A}_n=\frac{P^2}{4\pi }$, то есть круг.
3) Почему надо требовать выпуклость. Если многоугольник не выпуклый, можно «выпрямить» вогнутые углы, не меняя периметр, и увеличить площадь; следовательно, максимум достигается на выпуклом многоугольнике.
4) Доказательства для фиксированного $n$ (эскиз основных методов).
- Метод выравнивания (смещение соседних сторон). Доказывают, что если в выпуклом $n$-угольнике две соседние стороны имеют разные длины, то при фиксированной сумме этих двух длин можно изменить их так, чтобы их средние значения одинаковы, не уменьшая периметр, и при этом площадь не убывает (а строго возрастает, если стороны различны). Последовательно выравнивая стороны получают равные стороны → правильный многоугольник. Технически используется анализ площади треугольника с двумя фиксированными боками и меняющимся углом, и свойство вогнутости/выпуклости соответствующей функции.
- Метод цикличности (высшая форма). Сначала доказывают, что многоугольник максимальной площади при фиксированных длинах сторон обязательно циклический (все вершины на одной окружности) — это делается локальным изменением двух смежных вершин: если четыре последовательных вершины не лежат на одной окружности, можно проделать поворот/сдвиг, увеличивающий площадь. Затем среди циклических многоугольников с фиксированным периметром площадь выражается через центральные углы ${\alpha }_i$ и радиус $R$: стороны $a_i=2R\sin ({\alpha }_i/2)$, $\sum {\alpha }_i=2\pi$; при фиксированном суммарном периметре оптимум достигается при ${\alpha }_i$ всех равных, т.е. правильный многоугольник. Тут удобно применять метод Лагранжа (максимизация при линейном ограничении) или выпуклость/неравенство Йенсена для функций $\sin$.
- Симметризация/стейнеризация (Steiner). Применяют симметризацию, которая при фиксированном периметре не уменьшает площадь и делает фигуру более симметричной; последовательные симметризации приводят к правильному $n$-угольнику при сохранении числа сторон (требует аккуратной реализации для дискретного количества сторон).
5) Доказательство для всех фигур (изопериметрическая теорема). Методы: калькуляция вариаций (эллиптические ОДУ для контуров), метод Штейнера (симметризация), метод Фурье/Вайля (представление кривой через ряд Фурье, минимизация периметра при фиксированной площади и т.д.), или подходы из геометрии меры (Brunn–Minkowski). Любой из этих подходов показывает, что максимум площади при фиксированном периметре даёт окружность и единственен с точностью до движений.
6) Дополнительные замечания.
- Если фиксировать не только периметр, но и порядок/длины сторон, то максимум достигается у циклического многоугольника (формула Брахмагупты/общие утверждения о максимуме площади при заданных сторонах).
- Все перечисленные доказательства требуют аккуратности в предельных переходах (например, чтобы исключить вырожденные случаи) и обычно предполагают простоту и измеримость фигуры.
Коротко: при фиксированном $n$ оптимум — правильный выпуклый $n$-угольник (формула $A_n=\frac{P^2}{4n}\cot \frac{\pi }{n}$); без ограничения на $n$ (или среди всех фигур) оптимум — круг ($A=\frac{P^2}{4\pi }$). Методы доказательства: выравнивание сторон/локальные аргументы, доказательство цикличности + Лагранжевы множители / Йенсен для циклических многоугольников, симметризация (Steiner), и для полного (неполигонального) случая — методы вариационного исчисления или симметризации (изопериметрическая теорема).