Предложите контрпример к утверждению: "Если последовательность функций f_n сходится почти всюду к f и интегралы int |f_n| ограничены одинаковой константой, то int f_n -> int f", объясните, какое условие нужно добавить
Предложите контрпример к утверждению: "Если последовательность функций f_n сходится почти всюду к f и интегралы int |f_n| ограничены одинаковой константой, то int f_n -> int f", объясните, какое условие нужно добавить
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
fn(x)={n,0<x<1/n,0,иначе. f_n(x)=\begin{cases}n,&0<x<1/n,\\[4pt]0,&\text{иначе.}\end{cases}
fn (x)={n,0, 0<x<1/n,иначе. Тогда fn(x)→0f_n(x)\to 0fn (x)→0 при всех x>0x>0x>0 (и на множестве меры 0 — в точке 000 — можно не смотреть), т.е. fn→0f_n\to 0fn →0 почти всюду. При этом
∫01∣fn∣=∫01/nn dx=n⋅1n=1, \int_0^1 |f_n|=\int_0^{1/n} n\,dx = n\cdot\frac{1}{n}=1,
∫01 ∣fn ∣=∫01/n ndx=n⋅n1 =1, поэтому интегралы ∫∣fn∣\int |f_n|∫∣fn ∣ одинаково ограничены, но
∫01fn dx=1↛0=∫010 dx. \int_0^1 f_n\,dx=1\not\to 0=\int_0^1 0\,dx.
∫01 fn dx=1→0=∫01 0dx. Итого утверждение неверно.
Какое условие добавить. Достаточно потребовать наличие интегрируемой доминирующей функции: если существует g∈L1g\in L^1g∈L1 такая, что ∣fn∣≤g|f_n|\le g∣fn ∣≤g почти везде для всех nnn, то по теореме доминированной сходимости имеем ∫fn→∫f\int f_n\to\int f∫fn →∫f. Альтернатива: потребовать равномерной интегрируемости последовательности (fn)(f_n)(fn ) (Vitali), что тоже обеспечивает сходство интегралов.