Ключевая простая наблюдаемость для $2\times 2$-матриц с $\det A_n=1$: спектр определяется только следом. Характеристический многочлен
$${\chi }_{A_n}(\lambda )={\lambda }^2-(\mathrm{tr}{A}_n)\lambda +1,$$ поэтому собственные числа выражаются через след $t_n=\mathrm{tr}{A}_n$:
$${\lambda }_n^{\pm }=\frac{t_n\pm \sqrt{t_n^2-4}}{2}.$$
Условия сходимости спектра:
- Многообразие собственных чисел (как неупорядоченное множество с учётом кратностей) сходится тогда и только тогда, когда сходится след $t_n$. Если $t_n\to t$, то
$${\lambda }_n^{\pm }\to {\lambda }^{\pm }=\frac{t\pm \sqrt{t^2-4}}{2},$$ (включая случай $t=\pm 2$, когда корни сливаются).
- В частности, если матрицы сами сходятся по элементам $A_n\to A$, то $\mathrm{tr}{A}_n\to \mathrm{tr}A$ и спектр $A_n$ (как множество с кратностями) сходится к спектру $A$. Это следует от непрерывности коэффициентов характеристического многочлена и непрерывности корней многочлена по коэффициентам.
Замечания о тонкостях:
- Непрерывность справедлива для спектра как неупорядоченного мультисета. Если пытаться следить за отдельными ветвями собственных чисел с фиксированной нумерацией (первое, второе), то последовательности могут не иметь предела из‑за перестановки ветвей при пересечении дискриминанта; примерно это — проблема выбора непрерывной ветви корня. Но как набор (без нумерации) сходимость гарантирована при сходимости матриц.
Примеры:
1) Спектр не сходится (след не сходится): взять поворотные матрицы
$$R_{n\theta }=\left(\begin{array}{cc}\cos (n\theta )& -\sin (n\theta )\\ \sin (n\theta )& \cos (n\theta )\end{array}\right),$$ тогда $\det =1$ и собственные числа $e^{\pm in\theta }$ не имеют предела при общем $\theta$ (например $\theta$ не кратно $\pi$), потому что $\mathrm{tr}{R}_{n\theta }=2\cos (n\theta )$ не сходится.
2) Матрицы не сходятся, но спектр сходится (или остаётся постоянным): если $A_n=S_{n}A{S}_n^{-1}$ для некоторого фиксированного $A$ и некоторой последовательности невырожденных $S_n$, то спектр у всех $A_n$ одинаков и потому сходится, хотя сами $A_n$ могут не иметь предела.
3) Чувствительность собственных векторов при сливании корней: пусть $t_n\to 2$. Тогда ${\lambda }_n^{\pm }\to 1$ (двукратный корень), собственные векторы могут сильно меняться при малых возмущениях, но сами собственные числа сходятся к $1$.
Вывод: для $2\times 2$ с $\det =1$ единственное необходимое и достаточное условие сходимости спектра — сходимость следа $t_n$. При сходимости элементов матриц спектр всегда сходится; противные примеры возможны только из‑за неупорядоченности ветвей или при расходимости следа.