Если треугольник прямоугольный (катеты $a,b$, гипотенуза $c=\sqrt{a^2+b^2}$), то медиана к гипотенузе равна ровно половине гипотенузы. Доказательство простое (координатное): положим вершины в $(0,0),(a,0),(0,b)$. Концы гипотенузы $(a,0)$ и $(0,b)$ имеют середину $M=(\frac{a}{2},\frac{b}{2})$. Длина медианы из начала координат в $M$ $$m=\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}=\frac{c}{2}.$$ Поэтому в прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе никогда не короче и не длиннее половины — она равна половине.
Обобщение на произвольный треугольник. Для стороны $a$ и медианы $m_a$ справедлива формула Апполония:
$$2(b^2+c^2)=a^2+4m_a^2,$$ откуда
$$m_a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}.$$ Заметим, что $b^2+c^2-a^2=2bc\cos \alpha$, где $\alpha$ — угол напротив стороны $a$. Следовательно:
- если $\alpha <90^{\circ }$ (острый), то $\cos \alpha >0$ и $m_a>\frac{a}{2}$;
- если $\alpha =90^{\circ }$, то $m_a=\frac{a}{2}$;
- если $\alpha >90^{\circ }$ (тупой), то $m_a<\frac{a}{2}$.
Геометрическая интерпретация: медиана к стороне больше её половины тогда и только тогда, когда угол напротив этой стороны острый; равна половине при прямом угле (в этом случае середина стороны — центр описанной окружности); меньше половины при тупом угле.