Где нарушены условия
- Факт: $\frac{d}{dx}\ln |x|=\frac{1}{x}$ только при $x\ne 0$. Антидериватив $\ln |x|$ корректен на любой промежуток, не содержащий $0$, но не на промежутке, пересекающем $0$.
- Следствие: теорема Фундаментальная по интегралу (FTC) требует непрерывности подынтегральной функции на отрезке $[a,b]$. Для $f(x)=1/x$ это условие нарушается, если $0\in [a,b]$. Поэтому нельзя просто подставить $a$ и $b$, когда один из них (или точка внутри интервала) равна $0$.
Как правильно трактовать несобственные интегралы с разрывом в нуле
- Если $0\notin [a,b]$, то
$${\int }_a^b\frac{1}{x}dx=\ln |b|-\ln |a|.$$ - Если $a<0<b$, интеграл является несобственным и надо разложить через односторонние пределы:
$${\int }_a^b\frac{1}{x}dx=\underset{t\to 0^{-}}{\lim }{\int }_a^t\frac{1}{x}dx+\underset{s\to 0^{+}}{\lim }{\int }_s^b\frac{1}{x}dx.$$ Подстановка даёт
$$\underset{t\to 0^{-}}{\lim }(\ln |t|-\ln |a|)+\underset{s\to 0^{+}}{\lim }(\ln |b|-\ln |s|).$$ Пределы ${\lim }_{t\to 0^{-}}\ln |t|=-\infty$ и ${\lim }_{s\to 0^{+}}\ln |s|=-\infty$, поэтому сумма не сходится — интеграл расходится (не существует в обычном смысле).
- Кавычка: существует понятие главного значения (Cauchy principal value):
$$p.v.{\int }_a^b\frac{1}{x}dx=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }({\int }_a^{-\epsilon }\frac{1}{x}dx+{\int }_{\epsilon }^b\frac{1}{x}dx).$$ Для симметричного случая, например $p.v.{\int }_{-1}^1\frac{1}{x}dx=0$, но это не означает сходимости несобственного интеграла — это другое (алгебраическое) понятие.
Краткий вывод для учащегося
- Нельзя подставлять числовые пределы, включающие $0$, прямо в $\ln |x|$. Если интервал содержит $0$, нужно рассматривать несобственный интеграл через односторонние пределы; обычно такой интеграл при разрыве типа $1/x$ расходится, за исключением случая рассуждения в смысле главного значения.