Комбинаторный кейс: дан круг из n человек, требуется выбрать комитет из k человек так, чтобы два соседних не оказались в комитете; предложи методы подсчёта и обсуди случаи граничных значений k относительно n
Комбинаторный кейс: дан круг из n человек, требуется выбрать комитет из k человек так, чтобы два соседних не оказались в комитете; предложи методы подсчёта и обсуди случаи граничных значений k относительно n
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
n n−k (n−kk), \frac{n}{\,n-k\,}\binom{n-k}{k},
n−kn (kn−k ), или эквивалентно
nk( n−k−1 k−1 ), \frac{n}{k}\binom{\,n-k-1\,}{\,k-1\,},
kn (k−1n−k−1 ), при 0≤k≤⌊n/2⌋0\le k\le\lfloor n/2\rfloor0≤k≤⌊n/2⌋. Для k>⌊n/2⌋k>\lfloor n/2\rfloork>⌊n/2⌋ таких выборок нет (число равно 0).
Краткие методы вывода:
- Разбиение на интервалы (композиции). Взяв выбранные kkk человек в круговом порядке, рассматриваем длины промежутков (ненабранных людей) между соседними выбранными: y1,…,yk≥1y_1,\dots,y_k\ge1y1 ,…,yk ≥1, ∑yi=n−k\sum y_i=n-k∑yi =n−k. Число положительных композиций равно (n−k−1k−1)\binom{n-k-1}{k-1}(k−1n−k−1 ). Каждому набора соответствует kkk таких композиций, а стартовой позиции в круге nnn — отсюда множитель n/kn/kn/k.
- Сведение к линии (разделение по первому человеку). Зафиксируем человека 1: если он не выбран, остаётся задача на отрезке длины n−1n-1n−1 — число (n−kk)\binom{n-k}{k}(kn−k ); если выбран, то его два соседних исключаются и остаётся отрезок длины n−3n-3n−3 с выбором k−1k-1k−1 — число (n−k−1k−1)\binom{n-k-1}{k-1}(k−1n−k−1 ). Сумма этих двух даёт формулу, равную приведённой выше.
- Можно также получить тот же результат через включения–исключения или метод производящих функций/матриц.
Граничные случаи:
- k=0k=0k=0: ровно 1 способ.
- k=1k=1k=1: nnn способов.
- k=⌊n/2⌋k=\lfloor n/2\rfloork=⌊n/2⌋: допустимо; при чётном nnn и k=n/2k=n/2k=n/2 формула даёт 2 (две чередующиеся раскладки), при нечётном nnn максимум ⌊n/2⌋\lfloor n/2\rfloor⌊n/2⌋ и формула даёт соответствующее число.
- k>⌊n/2⌋k>\lfloor n/2\rfloork>⌊n/2⌋: ответ 0.
(Для тривиальных малых nnn стоит проверить отдельно n=1,2n=1,2n=1,2, формулы согласуются при аккуратной интерпретации.)