Кратко: аналитический и Монте‑Карло (MC) подходы дополняют друг друга. Аналитика даёт точные формулы при известной и простой структуре зависимостей; MC — численный, гибкий, удобен при сложных или неявных зависимостях, но требует выборки и оценки погрешности.
Сравнение (суть, плюсы/минусы)
- Аналитическое:
- В идеале даёт точную формулу. Для трёх событий можно использовать цепное правило или формулу включений‑исключений:
$$P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B\mid A)P(C\mid A\cap B),$$ $$P(A\cup B\cup C)=\sum P(A)-\sum P(A\cap B)+P(A\cap B\cap C).$$ - Плюсы: точность, понимание зависимостей, меньшие вычисления при простых моделях.
- Минусы: быстро становится неразрешимым при сложных условных зависимостях, многомерных неприводимых распределениях, выражениях через латентные переменные или при интегралах без замкнутого вида.
- Монте‑Карло:
- Оценка через среднее индикаторов: если $I_i$ — индикатор события в i‑й симуляции, то
$$\hat{p}=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{I}_i,\mathrm{Var}(\hat{p})=\frac{p(1-p)}{N}.$$ Приближённый доверительный интервал:
$$\hat{p}\pm z_{1-\alpha /2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{N}}.$$ - Плюсы: можно моделировать любые зависимости (копулы, условные выборки, имитация сложных стохастических процессов), легко расширять модель, получать смещения и чувствительности.
- Минусы: требуется много симуляций для малых вероятностей или высокой точности; результат стохастичен; нужно проектировать корректную модель зависимостей; для редких событий нужно методы уменьшения дисперсии (importance sampling, stratified, control variates и т.д.).
Критерии выбора метода
- Наличие аналитической модели: если все совместные/условные распределения известны и интегралы закрываются — аналитика предпочтительна.
- Сложность зависимостей: при сложных/неявных зависимостях — MC.
- Размерность: при низкой размерности аналитика чаще возможна; при высокой — MC обычно проще.
- Требуемая точность и доверительный уровень: для высокой точности и особенно для редких событий обычный MC может быть неэффективен.
- Вычислительные ресурсы и время: аналитика часто дешевле; MC масштабируется по параллельности.
- Необходимость чувствительности/«what‑if» анализа: MC удобнее (повторные прогоны с разными предположениями).
- Желаемый результат: формула/инсайт (аналитика) vs числовая оценка/модельные эксперименты (MC).
Пример задачи, где MC предпочтительнее
- Ситуация: три компонента $A,B,C$ зависят через общий скрытый фактор $S$ (напр., нагрузка или стресс), причём условно при $S=s$ события независимы, но маргинально зависят сложно. Требуется оценить вероятность, что все три отказали в интервале:
модель: $S\sim$ некоторая сложная смесь, и
$$P(A\mid S=s)=f_A(s),P(B\mid S=s)=f_B(s),P(C\mid S=s)=f_C(s).$$ Тогда
$$P(A\cap B\cap C)={\mathbb{E}}_S[f_A(S)f_B(S)f_C(S)],$$ и этот интеграл по сложному распределению $S$ может не иметь замкнутой формы — MC естественен: симулируем $S_i\sim S$, затем независимо генерируем события по вероятностям $f_{\cdot }(S_i)$, считаем долю случаев, когда все три произошли.
- Конкретный числовой пример (редкие совместные отказы): пусть при $S\sim \mathcal{N}(0,1)$,
$$f_A(s)=\Phi (s-2),f_B(s)=\Phi (0.5s-1.5),f_C(s)=\Phi (-0.8s-1.2),$$ где $\Phi$ — CDF нормали. Аналитическое вычисление $\mathbb{E}[f_A(S)f_B(S)f_C(S)]$ требует трёхкратных интегралов без явного решения; MC симулирует $S_i$, затем Бернулли с параметрами $f_{\cdot }(S_i)$. Для редких событий применяют importance sampling (сдвиг среднего для $S$) — легче реализовать, чем выводить аналитические формулы.
Практическая заметка по оценке числа симуляций: для погрешности $ϵ$ (прибл. по абсолютной) при уровне значимости $\alpha$,
$$N\approx \frac{z_{1-\alpha /2}^{2}p(1-p)}{{ϵ}^2},$$ где $p$ — истинная вероятность (можно подставить предварительную оценку).
Вывод: если зависимости и распределения просты и требуются точные формулы — аналитика. Если модель сложная, многослойная или заданы лишь процедурные генераторы зависимостей — MC (с методами уменьшения дисперсии при редких событиях).