Теорема о верхней и нижней границе (экстремумах). Если функция $f$ непрерывна на замкнутом и ограниченном отрезке $[a,b]$, то она обязательно достигает своих глобального минимума и максимума: существуют $x_{\min },x_{\max }\in [a,b]$ такие, что
$$f(x_{\min })=\underset{x\in [a,b]}{\min }f(x),f(x_{\max })=\underset{x\in [a,b]}{\max }f(x),$$ или эквивалентно
$$f(x_{\min })\le f(x)\le f(x_{\max })\text{для всех}x\in [a,b].$$
Краткое объяснение (два способа):
- Через компактность: $[a,b]$ — компакт, непрерывный образ компактного множества компактен в $\mathbb{R}$, а компакт в $\mathbb{R}$ означает замкнутый и ограниченный, следовательно содержит свои $\sup$ и $\inf$ — они являются максимумом и минимумом.
- Через последовательности: пусть $M={\sup }_{[a,b]}f$. Берём последовательность $x_n\in [a,b]$ с $f(x_n)\to M$. По компактности отрезка есть подпоследовательность $x_{n_k}\to x^{\ast }\in [a,b]$. Непрерывность даёт $f(x_{n_k})\to f(x^{\ast })$, значит $f(x^{\ast })=M$.
Контрпримеры при нарушении условий:
- Домен не замкнут (отсутствует край): $f(x)=x$ на $(0,1)$. Тогда $\inf =0,\sup =1$, но оба не достигаются на $(0,1)$.
- Домен не ограничен (не компактен): $f(x)=x$ на $[0,\infty )$ — нет максимума (функция неограничена сверху).
- Домен не компактен, функция ограничена, но супремум не достигается: $f(x)=\arctan x$ на $\mathbb{R}$. $\sup =\pi /2$, но нет точки с $f(x)=\pi /2$.
- Отсутствие непрерывности на замкнутом отрезке может нарушить утверждение: пусть
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1/x,& x\in (0,1],\\ 0,& x=0,\end{array}$$ на $[0,1]$. Функция разрывна в $0$ и неограниченна сверху, значит максимума нет (хотя минимум $0$ есть).

Итог: необходимое и достаточное условие (в классической формулировке) для гарантии существования минимума и максимума — непрерывность функции на компактном множестве (в частности на замкнутом и ограниченном отрезке $[a,b]$).