Для всех целых $n\ge 1$.
Пояснение. Имеем
$$P_n(x)=x^n+x^{n-1}+\cdots +1=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}(x\ne 1).$$ Корни $P_n$ удовлетворяют $x^{n+1}=1$ и $x\ne 1$, т.е. это все $(n+1)$-ые корни единицы, кроме $1$:
$$x=e^{2\pi ik/(n+1)},k=1,2,\dots ,n.$$ Все такие числа имеют модуль $|x|=1$, поэтому все корни лежат на единичной окружности. (Для $n=0$ полином $P_0=1$ не имеет корней.)