Ошибка — в неверном обращении логической связи. Правильное утверждение (над полем) таково:
$A$ обратима тогда и только тогда, когда $A$ представима в виде произведения элементарных матриц.
Доказательство кратко:
- Если $A=E_k\cdots E_1$ (каждое $E_i$ — элементарная), то каждая $E_i$ обратима, значит
$$A^{-1}=E_1^{-1}\cdots E_k^{-1},$$ то есть $A$ обратима.
- Если $A$ обратима, то с помощью последовательности элементарных строковых преобразований (или матриц $E_k,\dots ,E_1$) можно привести $A$ к $I$: $E_k\cdots E_{1}A=I$. Отсюда
$$A=(E_k\cdots E_1{)}^{-1}=E_1^{-1}\cdots E_k^{-1},$$ и поскольку обратные элементарных матриц тоже элементарны, $A$ — произведение элементарных матриц.
Отсюда следует контрапозиция: если матрица не представима как произведение элементарных матриц, то она не обратима (то есть сингулярна). Утверждение в задаче говорит обратное и потому неверно.
Замечание: над общими кольцами утверждение требует осторожности — некоторые элементарные матрицы могут быть не обратимы в общем кольце; описанное эквивалентность верна над полем (или над евклидовым кольцом с нужными свойствами).