Рассмотрим функцию $f(x)=\cos x-x$.
Число решений
- $f$ непрерывна на $\mathbb{R}$ и ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=-\infty ,{\lim }_{x\to -\infty }f(x)=+\infty$, значит хотя бы один корень существует.
- Любой корень удовлетворяет $x\in [-1,1]$ (так как $\cos x\in [-1,1]$), а на отрезке $[-1,1]$ функция $g(x)=\cos x$ является сжимающим отображением: $|g^{\prime }(x)|=|\sin x|\le \sin 1<1$. По теореме о сжимающем отображении фиксированная точка (решение $x=\cos x$) единственна. Итого: ровно одно вещественное решение.
- Его численное значение (Dottie number): $x\approx 0.7390851332151607$.
Методы оценки и численного нахождения
- Грубые оценки: $f(0)=1>0,f(1)=\cos 1-1<0$ ⇒ корень в $(0,1)$. Можно улучшить интервал подбором.
- Биссекция: гарантированная сходимость. Ошибка после $n$ шагов: $\le (b-a)/2^n$. Надёжен, но медленен (линейная сходимость).
- Итерация фиксированной точки: $x_{n+1}=\cos x_n$. Поскольку $|{\cos }^{\prime }(x)|=|\sin x|\le \sin 1=q<1$ на $[-1,1]$, метод сходится глобально на этом отрезке с линейной скоростью $q$: $|x_n-x^{\ast }|\le q^n|x_0-x^{\ast }|$. Простой и гарантированно сходится, но медленнее Ньютона; можно ускорить методом Стейнена/Aitken.
- Метод Ньютона для $f$: $f^{\prime }(x)=-\sin x-1$. Шаг:
$$x_{n+1}=x_n-\frac{\cos x_n-x_n}{-\sin x_n-1}=x_n+\frac{\cos x_n-x_n}{1+\sin x_n}.$$ При близком начальном приближении даёт квадратичную сходимость (очень быстро). Требует вычисления $\sin x_n$ и избежания точек, где $1+\sin x_n$ близко к нулю (но такие точки далеко от корня).
- Секантный метод: не требует производной, суперлинейная (порядок ≈1.618) сходимость; полезен если вычисление $\sin$ дорого.
- Комбинации: начать бисекцией/итерацией фикс. точки для гарантии и затем переключиться на Ньютон для быстрого уточнения.
Особенности поведения функций, влияющие на выбор алгоритма
- Уникальность и сжимающее поведение на $[-1,1]$ делает итерацию $x_{n+1}=\cos x_n$ надёжной; константа сжатия $\sin 1\approx 0.841$ даёт линейную скорость.
- Производная $f^{\prime }(x)=-\sin x-1$ не близка к нулю в окрестности корня (приблизительно $-1.6736$), поэтому Ньютон стабилен и быстро сходится при разумном старте.
- Осциллирующий характер $\cos x$ требует осторожности с начальными приближениями, если начинать далеко от $[-1,1]$; лучше ограничить начальное приближение в $[-1,1]$.
- Надёжность vs скорость: бисекция гарантирована, итерация фикс. точки — простая и гарантированная на $[-1,1]$ (но медленнее), Ньютон — быстрый при хорошем старте, секант — компромисс без явной производной.
Практическая рекомендация: взять интервал $[0,1]$, выполнить несколько шагов итерации $x_{n+1}=\cos x_n$ или бисекции, затем перейти на метод Ньютона для быстрого достижения машинной точности.