Ошибка в доказательстве. Контрпример: $f(x)=\sin (2\pi x)$ непрерывна на $[0,1]$ и
$${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^1\sin (2\pi x)dx=0,$$ но $f\not\equiv 0$. Значит из ${\int }_0^{1}f=0$ и непрерывности нельзя заключить $f(x)=0$ для всех $x$.
В чём ошибка предполагаемого доказательства? Обычно оно идёт так: если существует $x_0$ с $f(x_0)>0$, то по непрерывности есть окрестность $(x_0-\delta ,x_0+\delta )$, где $f(x)>0$, значит интеграл по всей области якобы положителен — забыто, что интеграл по остальной части может быть отрицателен и компенсировать положительную часть. То есть неверно предположение, что положительная вкладка одной окрестности не может быть компенсирована в других точках.
Корректные утверждения (с доказательствами):
1) Если $f$ непрерывна на $[0,1]$ и $f(x)\ge 0$ для всех $x$, и
$${\int }_0^{1}f(x)dx=0,$$ то $f(x)=0$ для всех $x$. Доказательство: если бы существовал $x_0$ с $f(x_0)=c>0$, по непрерывности найдётся $\delta >0$ и $\epsilon >0$ такие, что $f(x)\ge \epsilon$ на интервале длины $\delta$, тогда
$${\int }_0^{1}f(x)dx\ge {\int }_{x_0-\delta }^{x_0+\delta }f(x)dx\ge \epsilon \cdot (2\delta )>0,$$ противоречие.
2) Если $f$ непрерывна и ${\int }_0^1|f(x)|dx=0$, то $f\equiv 0$. Это следует из пункта 1 для $g=|f|$ (она непрерывна и неотрицательна).
3) Обобщение: если $f$ непрерывна и не меняет знака на $[0,1]$ (т.е. либо $f\ge 0$, либо $f\le 0$), то ${\int }_0^{1}f=0$ влечёт $f\equiv 0$ (применяется пункт 1 к $|f|$ или аналогично).
Таким образом, требуется дополнительно условие неотрицательности (или нулевой интеграл модуля, или отсутствие смены знака), чтобы из нулевого интеграла непрерывной функции следовало тождественное нулевое значение.