Вычислите вероятность того, что при броске 3 игральных костей сумма четная, и обсудите, почему симметричные распределения и комбинаторика дают более простые решения, чем прямой перебор
Вычислите вероятность того, что при броске 3 игральных костей сумма четная, и обсудите, почему симметричные распределения и комбинаторика дают более простые решения, чем прямой перебор
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Обоснование (комбинаторика и симметрия).
1) Подсчёт через чётность (биномиальная модель). Чётная сумма получается при 000 или 222 нечётных значениях на трёх костях. Вероятность одной кости быть нечётной =3/6=1/2=3/6=1/2=3/6=1/2. Тогда
P(чётная)=∑k∈{0,2}(3k)(12)3=(18)((30)+(32))=18(1+3)=12. P(\text{чётная})=\sum_{k\in\{0,2\}}\binom{3}{k}\left(\tfrac12\right)^3
=\left(\tfrac18\right)(\binom{3}{0}+\binom{3}{2})=\tfrac18(1+3)=\tfrac12.
P(чётная)=k∈{0,2}∑ (k3 )(21 )3=(81 )((03 )+(23 ))=81 (1+3)=21 .
2) Подсчёт исходов (комбинаторика). Всего исходов 63=2166^3=21663=216. Чётная сумма: все три чётные (33=273^3=2733=27) или ровно две нечётные ((32)⋅32⋅3=81\binom{3}{2}\cdot 3^2\cdot 3=81(23 )⋅32⋅3=81). Всего 27+81=10827+81=10827+81=108, значит вероятность 108/216=1/2108/216=1/2108/216=1/2.
3) Симметрия (простой аргумент). Для каждого исхода поменяем чётность первой кости (например, 1↔2, 3↔4, 5↔6) — получаем биекцию между исходами с чётной и нечётной суммой, значит их количества равны.
Почему симметрия/комбинаторика проще, чем прямой перебор: они используют свойства чётности и независимость, сводя задачу к подсчёту сочетаний или к очевидной биекции, вместо перечисления всех 216216216 исходов; это даёт компактные формулы и легко обобщается.