Утверждение верно: для квадрата сумма расстояний от точки $P$ до четырёх вершин минимальна в центре. Доказательство и комментарии ниже.
Постановка. Пусть квадрат центрирован в начале координат, вершины $A_{(ϵ,\delta )}=(ϵa,\delta a)$, $ϵ,\delta \in \{\pm 1\}$. Для $P=(x,y)$ рассмотрим функцию
$$f(x,y)=\sum _{ϵ,\delta \in \{\pm 1\}}\sqrt{(x-ϵa{)}^2+(y-\delta a{)}^2}.$$
1) Выпуклость. Для любого фиксированного вектора $(ϵa,\delta a)$ функция $(x,y)\mapsto \sqrt{(x-ϵa{)}^2+(y-\delta a{)}^2}$ — евклидова норма со сдвигом, а норма является выпуклой функцией. Сумма выпуклых функций выпукла, значит $f$ выпукла на всей плоскости. Следовательно любой критический (стационарный) внутренний пункт — глобальный минимум.
2) Нахождение стационарной точки по симметрии. Для точек, отличных от вершин, частные производные существуют и равны
$$\frac{\partial f}{\partial x}=\sum _{ϵ,\delta }\frac{x-ϵa}{\sqrt{(x-ϵa{)}^2+(y-\delta a{)}^2}},\frac{\partial f}{\partial y}=\sum _{ϵ,\delta }\frac{y-\delta a}{\sqrt{(x-ϵa{)}^2+(y-\delta a{)}^2}}.$$ В точке центра $O=(0,0)$ члены с $ϵ=+1$ и $ϵ=-1$ (аналогично для $\delta$) попарно равны по модулю и противоположны по знаку, поэтому
∂f∂x∣(0,0)=0,∂f∂y∣(0,0)=0. \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,0)}=0,\qquad
\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(0,0)}=0.
∂x∂f (0,0) =0,∂y∂f (0,0) =0. Итак, центр — стационарная точка. По выпуклости это глобальный минимум (единственный минимизатор на плоскости/внутри квадрата).
3) Уникальность. Выпуклость гарантирует, что множество минимумов — выпуклое; симметрия квадрата даёт, что этот набор invariant относительно диэдральной группы квадрата, а единственная общая неподвижная точка этой группы — центр, следовательно минимум уникален и равен в точке $O$.
Методы анализа и границы применения симметрии (кратко):
- Метод выпуклости + нахождение стационарной точки (через производные) — общий и строгий способ, когда слагаемые выпуклы (как здесь).
- Метод симметрии: если функция и область инвариантны относительно группы симметрии с единственной неподвижной точкой, то эта точка — кандидат на экстремум; для окончательного вывода нужна выпуклость или проверка второй производной/градиента. Симметрия сама по себе не даёт глобального минимума, если нет дополнительного свойства (выпуклости или строгой выпуклости).
- Геометрические альтернативы: отражения, неравенство треугольника, методы Ферма–Торричелли (для трёх точек) — применимы в других задачах, но для квадрата проще выпуклость+симметрия.
- Ограничения: для асимметричных фигур или когда функция не выпукла симметрия может давать несколько эквивалентных минимумов или вовсе не указывать на глобальный минимум (пример: две симметричные точки — множество минимумов это отрезок между ними). В треугольнике дерево Ферма показывает, что минимум суммы расстояний не всегда в центре масс/симметричной точке.
Вывод: для квадрата сумма расстояний от внутренней точки до вершин достигает единственного минимума в центре квадрата; доказательство — выпуклость функции + симметрия, гарантирующая стационарность центра.