Коротко: неравенство AM–GM
$$\frac{x_1+\cdots +x_n}{n}\ge (x_1\cdots x_n{)}^{1/n}$$ часто даёт грубую оценку, если переменные сильно несбалансированы или если в задаче есть дополнительные связи между переменными, которые AM–GM не учитывает. Ниже — конкретные случаи и способы улучшения.
Примеры грубой прямой апликации и улучшения
- Несбалансированные значения (очевидная потеря): для $x,y>0$ $$x+y\ge 2\sqrt{xy}.$$ Если $x=1,y=100$, то AM–GM даёт $x+y\ge 20$, в то время как точная сумма $101$ — намного сильнее. Улучшение: когда нужна верхняя или точная оценка суммы, лучше использовать прямой анализ или оценку через квадрат суммы:
$$x^2+y^2\ge \frac{(x+y{)}^2}{2},$$ или просто работать с конкретными значениями/границами переменных.
- Фиксированная сумма $S$: при заданном $x+y=S$ неэффективно применять $x^2+y^2\ge 2xy$. Лучше использовать
$$x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy\ge S^2-2\cdot \frac{S^2}{4}=\frac{S^2}{2},$$ то есть сильнее и учтена связь $x+y=S$. Альтернативно — неравенство Коши:
$$x^2+y^2\ge \frac{(x+y{)}^2}{2}.$$
- Фиксированный произведение $P$: AM–GM даёт нижнюю оценку суммы
$$x_1+\cdots +x_n\ge n{P}^{1/n},$$ — это точная минимальная сумма при равенстве переменных. Однако если нужно верхнее ограничение или в задачe ещё есть дополнительные линейные связи, AM–GM бесполезно. Улучшение: применить метод множителей Лагранжа (учтёт связь), или перейти к логарифмам (переменные $x_i=e^{u_i}$) и использовать выпуклость для точного экстремума.
- Неподходящие веса: стандартный AM–GM игнорирует несимметричные коэффициенты. Используйте взвешенный AM–GM:
$$\frac{w_1{a}_1+\cdots +w_n{a}_n}{w_1+\cdots +w_n}\ge a_1^{w_1/(W)}\cdots a_n^{w_n/(W)},W=\sum w_i,$$ — это часто даёт существенно лучшее приближение при линейных комбинациях с коэффициентами.
Рекомендации по улучшению оценок при дополнительных связях
- Использовать метод Лагранжа для точного поиска экстремумов при ограничениях (линейных или мультипликативных).
- Применять взвешенный AM–GM, если в условии присутствуют коэффициенты/веса.
- Заменять AM–GM на неравенства, учитывающие квадраты или суммы (Коши — Шварц, Неравенство для сумм квадратов): $\sum x_i^2\ge \frac{(\sum x_i{)}^2}{n}$.
- Для симметричных задач применять гладкость/сглаживание (smoothing): экстремумы обычно достигаются при равенстве некоторых переменных.
- Применять выпуклость/Йенсена, если выражения зависят от функций переменных (лог, степенные функции).
- Для смешанных степенных выражений — использовать неравенства Хёльдера/Мёрдхеда/Маклорена (Muirhead) вместо AM–GM.
Короткая сводка практики: AM–GM хорошо даёт минимумы суммы при фиксированном произведении (равенство при равных переменных). Если переменные несбалансированы или есть дополнительные линейные/логарифмические связи — сначала учтите эти связи (сумма, произведение, веса) и применяйте взвешенный AM–GM, Коши, Лагранжа или выпуклость — это обычно даёт существенно более строгие оценки.