Ответ: все натуральные решения
$\phi (n)=12$ — это
$n\in \{13,21,26,28,36,42\}.$
Короткая стратегия с пояснениями:
1) Разложение и формула: для
$n=\prod p_i^{a_i}$ имеем
$\phi (n)=\prod p_i^{a_i-1}(p_i-1)$.
Так как $12=2^2\cdot 3$, все простые делители числа $\phi (n)$ — только $2$ и $3$.
2) Ограничение простых, входящих в $n$: если для некоторого простого $p$ степень $a_i\ge 2$, то $p\mid \phi (n)$, значит $p\in \{2,3\}$. Если $p\ge 5$, то должно быть $a_i=1$ и тогда $p-1\mid 12$, откуда возможные простые $p$ — из множества $\{2,3,5,7,13\}$.
3) Перебор по наличию фактора $2$:
- Если $n$ нечетно, то рассматриваем произведения простых из $\{3,5,7,13\}$. Решения дают
$\phi (p)=12\Rightarrow p=13$ и $\phi (3\cdot 7)=(3-1)(7-1)=2\cdot 6=12\Rightarrow n=21$.
- Если $2\mid n$, то пусть $n=2^{a}m$ с нечетным $m$. Тогда
$\phi (n)=2^{a-1}\phi (m)=12$, значит $\phi (m)=12/2^{a-1}$.
Возможны $a=1,2,3$. Для $a=1$ получаем $m$ из предыдущего пункта: $m\in \{13,21\}$ даёт $n=26,42$.
Для $a=2$ нужно $\phi (m)=6$; нечетные решения $\phi (m)=6$ — $m=7,9$, дают $n=4\cdot 7=28$ и $n=4\cdot 9=36$.
Для $a\ge 4$ правая часть нецелая или слишком мала, решений нет.
Таким образом полный набор решений:
$\{13,21,26,28,36,42\}$.