Шаги решения и пояснения (кратно и без вычисления корней):
1) Область допустимых значений из-под корня: $x+3\ge 0\Rightarrow x\ge -3.$
2) Так как квадратный корень неотрицателен, правая часть должна быть неотрицательной: $\sqrt{x+3}=x-1$ влечёт $x-1\ge 0\Rightarrow x\ge 1.$ Значит дальнейший анализ можно ограничить $x\ge 1.$
3) При $x\ge 1$ обе части неотрицательны, поэтому можно возвести в квадрат без потери решений (опасность введения посторонних корней появляется, если не контролировать знаки):
$$x+3=(x-1{)}^2.$$
4) Приводим к квадратному уравнению:
$$x+3=x^2-2x+1\Rightarrow x^2-3x-2=0.$$
5) Возможная ловушка: возведение в квадрат может добавить корни, которые дают противоположные по знаку стороны исходного уравнения. Здесь мы заранее наложили условие $x\ge 1$, потому дополнительные корни с $x<1$ автоматически отбрасываются.
6) Общее условие для корней (без их явного вычисления): корень должен одновременно удовлетворять квадратному уравнению и неравенству
$$\{\begin{array}{l}{x}^2-3x-2=0,\\ x\ge 1.\end{array}$$
Дополнительное замечание о количестве корней (без вычисления значений): дискриминант $D=9+8=17>0$, значит квадратное уравнение имеет два вещественных корня; их произведение равно $-2<0$, значит один корень положителен, другой отрицателен. Поскольку при $x=1$ левая часть больше правой, положительный корень строго больше $1$. Итого ровно один из корней квадратного уравнения удовлетворяет $x\ge 1$ и потому является решением исходного уравнения.