Кратко опишу вариант с факториалом, укажу слабые места и приведу корректное доказательство Евклида.
1) Схема «через факториал» (обычная формулировка)
- Предположим, простых чисел конечное число: $p_1,p_2,\dots ,p_k$.
- Рассмотрим число $N=(p_1{p}_2\cdots p_k)!+1$.
- Для любого $i$ число $p_i$ делит $(p_1{p}_2\cdots p_k)!$, значит не может делить $N$ (иначе делило бы и разность $N-(p_1\cdots p_k)!=1$, что невозможно).
- Следовательно ни одно из $p_i$ не делит $N$. Значит либо $N$ само простое, либо у него есть простой делитель, отличный от всех $p_i$. В любом случае получаем противоречие с конечностью списка. Значит простых чисел бесконечно много.
2) Слабые/ошибочные места, которые встречаются в подобных рассуждениях
- Неправильное утверждение, что из конструкции следует, что $N$ обязательно простое. Это неверно: например, $5!+1=121=11^2$ — составное. Правильный вывод только о наличии простого делителя, не входящего в список.
- Иногда некорректно формулируют, почему ни одно $p_i$ не делит $N$. Надо явно использовать, что если $p_i\mid a$ и $p_i\mid a+1$, то $p_i\mid 1$ — противоречие.
- Ещё встречается неточное использование факториала: нужно взять факториал числа, которое не меньше всех предполагаемых простых (например $(p_1\cdots p_k)!$ или просто $n!$ при $n$ — наибольшее предполагаемое простое). Тогда все предполагаемые простые действительно делят факториал.
3) Корректное и компактное доказательство Евклида (классический вариант)
- Предположим простых конечное число: $p_1,\dots ,p_k$.
- Положим $N=p_1{p}_2\cdots p_k+1$.
- Для любого $i$ имеем $N\equiv 1(\mathrm{mod}{p}_i)$, значит ни одно $p_i$ не делит $N$.
- Поэтому у $N$ либо есть простой делитель, отличный от всех $p_i$, либо $N$ само простое. В любом случае список неполный — противоречие.
- Следовательно простых чисел бесконечно много.
Вывод: корректный аргумент через факториал или через произведение плюс единица оба работают, но важно не утверждать лишнего (например, что $n!+1$ всегда простое) — достаточно показать существование простого делителя вне предполагаемого конечного списка.