Коротко и по делу.
1) Перепись и базовый приём (дискретное интегрирование):
Пусть $b_k:=k(a_{k+1}-a_k)$. Тогда
$$a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}\frac{b_k}{k}.$$ Если задано $b_k\to L$ при $k\to \infty$, то разложение выше — основа для анализа.
2) Общая асимптотика (без сильных доп. условий):
Из $b_k\to L$ следует
$$a_n=L\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}+\sum _{k=1}^{n-1}\frac{b_k-L}{k}+a_1.$$ Так как ${\max }_{k\le n}|b_k-L|\to 0$, вторая сумма есть $o(\log n)$. Поэтому
$$a_n=L\log n+o(\log n),\text{и}\frac{a_n}{\log n}\to L.$$ Альтернативный короткий аргумент: применить теорему Столца к $\frac{a_n}{\log n}$:
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{\log n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_{n+1}-a_n}{\log (n+1)-\log n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{b_n/n}{\log (1+1/n)}=L.$$
Следствия: если $L\ne 0$, то $a_n\to \mathrm{sign}(L)\cdot \infty$ и ведущий член роста $L\log n$.
3) Более точная асимптотика (нужны доп. условия):
Если дополнительно
$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{b_k-L}{k}\text{сходится},$$ то
$$a_n=L\log n+C+o(1)$$ для некоторой константы $C$. Достаточные простые условия, гарантировавшие сходимость суммы: $b_k-L=O(k^{-\alpha })$ для некоторого $\alpha >0$ (тогда $(b_k-L)/k=O(k^{-1-\alpha })$ и сумма сходится), или $\sum |b_k-L|/k<\infty$.
4) Условия сходимости последовательности $a_n$:
- Необходимое условие: если $a_n$ сходится, то $L=0$. (Иначе $a_n$ ведут как $L\log n$ и расходятся.)
- Однако $L=0$ не гарантирует сходимость $a_n$. Для сходимости нужно, например, чтобы сумма ${\sum }_k(a_{k+1}-a_k)={\lim }_{n\to \infty }(a_n-a_1)$ была сходящейся, т.е. $\sum b_k/k$ сходилась.
5) Контрпримеры:
- $a_n=\log n$. Тогда $a_{n+1}-a_n=\log (1+1/n)\sim 1/n$, поэтому $n(a_{n+1}-a_n)\to 1$ (то есть $L=1$), и $a_n\to \infty$ (рост $\sim \log n$).
- Для $L=0$ и расходимости: $a_n={\sum }_{k=2}^n\frac{1}{k\log k}$. Тогда $n(a_{n+1}-a_n)=\frac{1}{\log n}\to 0$, но $a_n\to \infty$ (медленнее, но расходится).
- Пример, где $b_k\to L$, но $a_n-L\log n$ неконвергентно: положим $b_k=L+\frac{1}{\log k}$. Тогда
$$a_n=L\log n+\sum _{k=2}^{n-1}\frac{1}{k\log k}+O(1)=L\log n+\log \log n+O(1),$$ и поправка $\log \log n$ расходится, пусть и медленно.
6) Резюме практических методов:
- Переписать через $b_k=k\Delta a_k$ и проанализировать сумму $\sum b_k/k$.
- Применить Столца для пределов вида $a_n/\log n$.
- Для точной асимптотики требовать суммируемости $(b_k-L)/k$ (или скорости сходимости $b_k\to L$).
- Для гарантии сходимости $a_n$ надо иметь $L=0$ и дополнительно $\sum (b_k)/k$ сходится (или эквивалентные оценки на $\Delta a_k$, напр. $\Delta a_k=O(k^{-1-\epsilon })$).
Если нужно, могу привести ещё явные примеры с вычислениями или доказательства заявленных утверждений.