Решение уравнения $y^{\prime }=y^2$.
1) Явное решение (сепарация переменных):
$$\frac{dy}{y^2}=dt\Rightarrow -\frac{1}{y}=t+C.$$ При начальном условии $y(t_0)=y_0$ получаем
$$-\frac{1}{y(t)}=t-t_0-\frac{1}{y_0}\Rightarrow y(t)=\frac{1}{\frac{1}{y_0}-(t-t_0)}.$$
2) Существование и конечное время взрыва (blow-up):
- Если $y_0>0$, знаменатель обнуляется при
$$T^{+}=t_0+\frac{1}{y_0},$$ поэтому решение стремится к $+\infty$ при $t\to T^{+}-$. Решение определено на промежутке $(-\infty ,T^{+})$ (вперёд до $T^{+}$ — конечный взрыв, назад бесконечно).
- Если $y_0=0$, то $y(t)\equiv 0$ глобально для всех $t$.
- Если $y_0<0$, то для $t>t_0$ знаменатель никогда не равен нулю (обнулится при $t=t_0+1/y_0<t_0$), поэтому решение существует глобально вперёд: $y(t)\to 0^{-}$ при $t\to +\infty$. Влево по времени оно взрывается в конечный момент $T^{-}=t_0+\frac{1}{y_0}<t_0$.
3) Оценки и методы определения времени разрыва:
- Интегральный тест (общий приём для $y^{\prime }=f(y)$): время до взрыва определяется интегралом
$$T^{+}-t_0={\int }_{y_0}^{+\infty }\frac{du}{f(u)}.$$ Для $f(u)=u^2$ это даёт
$${\int }_{y_0}^{\infty }{u}^{-2}du=\frac{1}{y_0},$$ что совпадает с явной формулой.
- Сравнение/неравенства Гронваля: если известны оценки $a(y)\le f(y)\le b(y)$, то времена разрыва можно оценить интегралами $\int dy/a(y)$ и $\int dy/b(y)$.
- Поведение у границы взрыва: при $t\to T^{-}$ $$y(t)\sim \frac{1}{T-t},$$ то есть типичный обратнопропорциональный профиль взрыва.
4) Замечания:
- Поскольку $f(y)=y^2$ локально липшицева, решение единственно до момента возможного взрыва; единственная причина конечного времени существования — рост решения до бесконечности.
- Аналогичные рассуждения применимы к нелинейностям $y^{\prime }=y^p$ ($p>1$) с тем, что интеграл ${\int }_{y_0}^{\infty }{u}^{-p}du$ даёт конечное или бесконечное время взрыва в зависимости от $p$.
Если нужно, могу привести краткие численные оценки для приближённого определения $T$ при заданном $y_0$ или показать графики поведения решений.