Коротко: при действительных (реальных) квадратных корнях необходимо $a\ge 0,b\ge 0$. При этих предпосылках из равенства
$$\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$$ возведением в квадрат получаем
$$a+b=a+b+2\sqrt{ab}\Rightarrow 2\sqrt{ab}=0\Rightarrow ab=0.$$ Значит минимальные условия для справедливости равенства: $a\ge 0,b\ge 0$ и $ab=0$ (то есть хотя бы одно из чисел равно нулю). В частности, единственные реальные решения — $a=0$ или $b=0$ (включая $a=b=0$).
Распространённые ошибки при работе с корнями:
- Подстановка свойства дистрибутивности: $\sqrt{x+y}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$ — в общем ложна (контрпример: $x=y=1$: $\sqrt{2}\ne 2$).
- Неправильное обращение при возведении в квадрат: из $\sqrt{A}=B$ нужно требовать дополнительно $B\ge 0$; иначе квадратирование может дать посторонние решения (пример: $\sqrt{x}=-1$ даёт при квадратировании $x=1$, но это не решение исходного уравнения).
- Использование $\sqrt{xy}=\sqrt{x}\sqrt{y}$ без проверки знаков: эта тождественность верна только при $x\ge 0,y\ge 0$.
- В комплексной области необходимо явно задавать ветвь функции $\sqrt{\cdot }$; без этого равенства могут вести себя иначе.