Рассмотрите дробно-линейное преобразование на комплексной плоскости z -> (az+b)/(cz+d); проанализируйте его геометрические свойства, условие обратимости и образ прямых и кругов
Рассмотрите дробно-линейное преобразование на комплексной плоскости z -> (az+b)/(cz+d); проанализируйте его геометрические свойства, условие обратимости и образ прямых и кругов
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
f(z)=az+bcz+d,a,b,c,d∈C, f(z)=\frac{az+b}{cz+d},\qquad a,b,c,d\in\mathbb C,
f(z)=cz+daz+b ,a,b,c,d∈C, и рассматривается как отображение расширенной комплексной плоскости C^=C∪{∞}\hat{\mathbb C}=\mathbb C\cup\{\infty\}C^=C∪{∞}.
Обратимость — условие и формула обратного. Преобразование задаётся матрицей M=(abcd)M=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}M=(ac bd ) и инвертируемо тогда и только тогда, когда определитель не равен нулю:
detM=ad−bc≠0. \det M=ad-bc\neq0.
detM=ad−bc=0. Тогда обратное преобразование соответствует обратной матрице (в масштабе):
f−1(w)=dw−b−cw+a, f^{-1}(w)=\frac{dw-b}{-cw+a},
f−1(w)=−cw+adw−b , что эквивалентно умножению M−1=1ad−bc(d−b−ca)M^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}M−1=ad−bc1 (d−c −ba ).
Поведение с бесконечностью. Если c≠0c\neq0c=0, то
f(−dc)=∞,f(∞)=ac. f\bigl(-\tfrac{d}{c}\bigr)=\infty,\qquad f(\infty)=\tfrac{a}{c}.
f(−cd )=∞,f(∞)=ca . Если c=0c=0c=0 — аффинный случай: f(z)=adz+bdf(z)=\tfrac{a}{d}z+\tfrac{b}{d}f(z)=da z+db .
Конформность и ориентация. Мёбиусовы преобразования всюду аналитичны (кроме полюса), являются конформными отображениями Riemann‑сферы и сохраняют ориентацию (они составляют группу PSL(2,C) \mathrm{PSL}(2,\mathbb C)PSL(2,C): матрицы MMM эквивалентны λM\lambda MλM, λ≠0\lambda\neq0λ=0).
Образ прямых и кругов. Любая прямая или окружность в C\mathbb CC (включая прямые как «круги» через ∞\infty∞) переходит в прямую или окружность. Доказательство (кратко): общее уравнение «обобщённого круга»
α∣z∣2+βz+β‾z‾+γ=0,α,γ∈R, β∈C, \alpha|z|^2+\beta z+\overline\beta\overline z+\gamma=0,\qquad \alpha,\gamma\in\mathbb R,\ \beta\in\mathbb C,
α∣z∣2+βz+β z+γ=0,α,γ∈R, β∈C, после подстановки z=f−1(w)z=f^{-1}(w)z=f−1(w) снова приводится к такому же виду, значит образ — обобщённый круг. Практически: прямая проходит в окружность, если она не проходит через точку, отправляемую в ∞\infty∞; если проходит — в прямую.
Кросс‑отношение и трёхточечная однозначность. Мёбиусово преобразование сохраняет кросс‑отношение:
[f(z1),f(z2);f(z3),f(z4)]=[z1,z2;z3,z4], [f(z_1),f(z_2);f(z_3),f(z_4)]=[z_1,z_2;z_3,z_4],
[f(z1 ),f(z2 );f(z3 ),f(z4 )]=[z1 ,z2 ;z3 ,z4 ], и полностью определяется образами трёх попарно различных точек (существует единственное fff с заданными образами трёх точек).
Фиксированные точки и классификация. Фиксированные точки zzz удовлетворяют
z=az+bcz+d⟹cz2+(d−a)z−b=0. z=\frac{az+b}{cz+d}\quad\Longrightarrow\quad cz^2+(d-a)z-b=0.
z=cz+daz+b ⟹cz2+(d−a)z−b=0. Дискриминант
Δ=(d−a)2+4bc=(a+d)2−4(ad−bc) \Delta=(d-a)^2+4bc=(a+d)^2-4(ad-bc)
Δ=(d−a)2+4bc=(a+d)2−4(ad−bc) определяет количество фиксированных точек: Δ=0\Delta=0Δ=0 — один (кратный) фикс‑пункт (параболический тип), Δ≠0\Delta\neq0Δ=0 — два различных (эллиптический/гиперболический/локсоморфный в зависимости от модулей собственных значений матрицы). Классификация с точки зрения собственных значений матрицы MMM (или отношений их модулей): эллиптические (поворотоподобные), параболические (однократная неподвижная точка), локсодромические/гиперболические (две неподвижные точки, одна привлекательная, другая отталкивающая при итерировании).
Краткие следствия и свойства:
- Мёбиусовы преобразования — все би‑конформные автоморфизмы Riemann‑сферы.
- Они сохраняют углы и кросс‑отношения, переводят окружности/прямые в окружности/прямые.
- Любое биективное отображение сферы, переводящее круги в круги, является мёбиусовым.
Если нужно, могу привести явную конструкцию преобразования, переводящего три заданные точки z1,z2,z3z_1,z_2,z_3z1 ,z2 ,z3 в три другие w1,w2,w3w_1,w_2,w_3w1 ,w2 ,w3 .