Кратко — четыре стандартные модели выбора из $n$ учеников по $k$ мест:
1) Без повторений, порядок не важен (комитет — обычный).
Формула: $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$ Обоснование: взять все упорядоченные выборы $\frac{n!}{(n-k)!}$ и поделить на $k!$ (перестановки в составе не дают нового комитета). Типично для комитета.
Пример ($n=3,k=2$): возможные наборы $\{A,B\},\{A,C\},\{B,C\}$ — всего $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=3$.
2) Без повторений, порядок важен (упорядоченный комитет — посадка по местам).
Формула: $$P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)\cdots (n-k+1).$$ Обоснование: на каждое из $k$ мест выбираем оставшегося ученика (правило умножения).
Тот же пример: упорядоченные пары $(A,B),(B,A),(A,C),(C,A),(B,C),(C,B)$ — всего $\frac{3!}{1!}=6$.
3) С повторениями, порядок важен (последовательность длины $k$ с повторениями).
Формула: $$n^k.$$ Обоснование: для каждой из $k$ позиций свободный выбор из $n$ (независимые выборы).
Пример ($n=3,k=2$): $(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C)$ — $3^2=9$.
4) С повторениями, порядок не важен (мультимножества размера $k$ из $n$ типов).
Формула (звезды и планки): $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k}\right).$$ Обоснование: представить $k$ одинаковых «звёзд» (выбранные ученики по типам) и $n-1$ разделителей между типами; всего $n+k-1$ позиций, выбрать $k$ звёзд.
Пример ($n=3,k=2$): $\{A,A\},\{A,B\},\{A,C\},\{B,B\},\{B,C\},\{C,C\}$ — $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$.
Замечания: при отсутствии повторений требуется $k\le n$; при моделировании комитетов обычно выбирают случай 1 (без повторений, порядок не важен).