Рассмотрим
$I(a,b)={\int }_0^{\infty }{x}^a{e}^{-bx}dx,a>-1,b>0.$
1) Прямое сведение к гамма-функции (замена переменной).
Сделаем $t=bx$ ($x=t/b$, $dx=dt/b$):
$$I(a,b)={\int }_0^{\infty }{\left(\frac{t}{b}\right)}^a{e}^{-t}\frac{dt}{b}=b^{-a-1}{\int }_0^{\infty }{t}^a{e}^{-t}dt=b^{-a-1}\Gamma (a+1).$$
2) Рекуррентные соотношения (интегрирование по частям).
Пусть $u=x^a,dv=e^{-bx}dx$. Тогда
$$I(a,b)={\left[-\frac{x^a{e}^{-bx}}{b}\right]}_0^{\infty }+\frac{a}{b}{\int }_0^{\infty }{x}^{a-1}{e}^{-bx}dx=\frac{a}{b}I(a-1,b),$$ поскольку граничные значения равны нулю при $a>-1$. Это эквивалентно рекуррентности гамма-функции $\Gamma (a+1)=a\Gamma (a)$. Также дифференцирование по параметру даёт
$$\frac{\partial }{\partial b}I(a,b)=-{\int }_0^{\infty }{x}^{a+1}{e}^{-bx}dx=-I(a+1,b),$$ и в общем $\frac{{\partial }^n}{\partial b^n}I(a,b)=(-1{)}^{n}I(a+n,b)$.
3) Частные случаи (примеры).
Если $a=n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$, то
$$I(n,b)=\frac{n!}{b^{n+1}}.$$ Для $a=-\frac{1}{2}$:
$$I(-\frac{1}{2},b)=\Gamma (\frac{1}{2})b^{-1/2}=\sqrt{\pi }{b}^{-1/2}.$$
4) Аналитическое продолжение по $a$ и $b$.
- По $a$: интегральная формула сходится только при $\Re (a)>-1$, но правая часть $\Gamma (a+1)b^{-a-1}$ задаёт аналитическое продолжение по $a$ в комплексной плоскости за исключением полюсов гамма-функции при $a+1=0,-1,-2,\dots$ (т. е. $a=-1,-2,\dots$).
- По $b$: исходный интеграл сходится при $\Re (b)>0$. Формула $b^{-a-1}\Gamma (a+1)$ даёт продолжение по $b$ в область $b\ne 0$, но требует выбора ветви для $b^{-a-1}=\exp (-(a+1)\log b)$; обычно берут главную ветвь логарифма. Особая точка $b=0$ соответствует полю/сингулярности (дивергенция).
Итого:
$$\boxed{{\int }_0^{\infty }{x}^a{e}^{-bx}dx=b^{-a-1}\Gamma (a+1),(\Re a>-1,\Re b>0),}$$ с указанными рекуррентностями и возможностью аналитического продолжения через правую часть формулы.