Из условий $p(1)=0$ и $p^{\prime }(1)=0$ следует, что корень $x=1$ имеет кратность как минимум 2. Обоснование: для многочлена $p$ существует многочлен $q$ такой, что
$$p(x)=(x-1{)}^{2}q(x).$$ Кратность корня равна $m$ тогда и только тогда, когда
$$p(x)=(x-1{)}^{m}q(x)\text{и}q(1)\ne 0,$$ эквивалентно
$$p^{(j)}(1)=0\text{для}j=0,1,\dots ,m-1,\text{и}{p}^{(m)}(1)\ne 0.$$
Следствия и критерии:
- Если дополнительно $p^{\prime \prime }(1)\ne 0$, то кратность ровно 2.
- Если также $p^{\prime \prime }(1)=0$, но $p^{(3)}(1)\ne 0$, то кратность $\ge 3$ (точно 3 при $p^{(3)}(1)\ne 0$), и т.д.
Примеры:
- кратность 2: $p(x)=(x-1{)}^2$. $p^{\prime }(x)=2(x-1)$, $p^{\prime \prime }(1)=2\ne 0$.
- кратность 2 с дополнительным множителем: $p(x)=(x-1{)}^2(x+2)$ (здесь $q(1)=3\ne 0$).
- кратность 3: $p(x)=(x-1{)}^3$. $p^{\prime }(x)=3(x-1{)}^2,p^{\prime \prime }(x)=6(x-1),p^{\prime \prime \prime }(1)=6\ne 0$.
- общая кратность $n$: $p(x)=(x-1{)}^n$, при этом $p^{(n)}(1)=n!\ne 0$.
Замечание: степень многочлена должна быть не меньше 2, иначе одновременно $p(1)=0$ и $p^{\prime }(1)=0$ невозможны.