Утверждение. Пусть $f$ непрерывна на $[a,b]$, дифференцируема на $(a,b)$ и $f^{\prime }(x)=0$ для всех $x\in (a,b)$. Тогда $f$ константа на $[a,b]$.
Доказательство (основная идея). Возьмём произвольные $x,y\in [a,b]$, $x<y$. По теореме Лагранжа (среднее значение) для функции, непрерывной на $[x,y]$ и дифференцируемой на $(x,y)$, существует $c\in (x,y)$ такое, что
$$f^{\prime }(c)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}.$$ Так как по условию $f^{\prime }(c)=0$, получаем $\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=0$, следовательно $f(y)=f(x)$. Поскольку $x,y$ были произвольными, функция постоянна на $[a,b]$.
Необходимые теоремы и условия:
- Теорема Лагранжа: требуется непрерывность на замкнутом отрезке и дифференцируемость на внутреннем.
- Наличие условия $f^{\prime }(x)=0$ для всех $x\in (a,b)$ (то есть в каждой точке интервала) необходимо для вывода. Дифференцируемость в концах отрезка не требуется (только непрерывность).
Крайние случаи и замечания:
- Тривиальный случай $a=b$ — окончание очевидно.
- Если условие $f^{\prime }(x)=0$ выполнено только почти всюду (a.e.), то вывод уже не верен: пример — канторова функция (Devil’s staircase) непрерывна, неубывает, имеет производную $0$ почти всюду, но не является константой.
- Более слабые достаточные условия: если $f$ абсолютно непрерывна на $[a,b]$ и $f^{\prime }(x)=0$ почти всюду, то $f$ константа (через представление через интеграл).