Кратко: все целые решения уравнения $x^2+y^2=z^2$ описываются стандартной «формулой Эвклида» + масштабирование, альтернативно — через рациональный параметр/гауссовы целые. Ниже — все варианты, ограничения и какие решения не даются при обычных дополнительных условиях.
1) Евклидова (базовая) параметризация
$$x=k(m^2-n^2),y=k(2mn),z=k(m^2+n^2),$$ где $k,m,n\in \mathbb{Z}$, обычно берут $k>0,m>n>0$. Если дополнительно потребовать $\gcd (m,n)=1$ и $m\not\equiv n(\mathrm{mod}2)$, то при $k=1$ получаем все примитивные (взаимно простые) тройки с ненулевыми катетами, а умножая на $k$ получаем все тройки в целом (до перестановки $x,y$ и знаков).
Примеры: $(3,4,5)$ — $m=2,n=1,k=1$; $(8,15,17)$ — $m=4,n=1,k=1$ (в этом случае $x$ и $y$ можно переставить).
2) Параметризация через рациональный параметр (проективный)
Для рационального $t$ стандартно параметризуют единичную окружность:
$$\frac{x}{z}=\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{y}{z}=\frac{2t}{1+t^2}.$$ Если $t=\frac{p}{q}$ (в несократимом виде), умножив на общий множитель, это эквивалентно формуле Эвклида с $m=q,n=p$.
3) Через гауссовы целые (компактно и основное доказательство полноты)
В кольце $\mathbb{Z}[i]$ любое примитивное решение соответствует квадрату непростого гауссова целого:
$$x+iy=u(a+ib{)}^2,z=a^2+b^2,$$ где $u\in \{\pm 1,\pm i\}$, $\gcd (a,b)=1$. Это эквивалентно Евклидовой формуле (поскольку $(a+ib{)}^2=(a^2-b^2)+i(2ab)$). Это даёт полное описание всех примитивных троек (с учётом единиц $u$ получаем перестановки и знаки).
Какие тройки «пропускаются» обычной формулой
- Если под «обычной формулой» понимать формулу с условием $m>n>0,\gcd (m,n)=1,m\not\equiv n(\mathrm{mod}2)$ и $k=1$, то она даёт все примитивные тройки с ненулевыми катетами. Пропускаются только вырожденные случаи с нулевым катетом:
$$(0,t,t),(t,0,t)(t\in \mathbb{Z}),$$ в частности $(0,1,1)$. Эти решения не получаются при требовании $\gcd (m,n)=1,m\ne n$ (они возникают при $m=n$, что нарушает условие).
- Никакие «неправильные» невырожденные решения не пропускаются: каждая примитивная тройка с $x\ne 0,y\ne 0$ представляется некоторыми $m,n$ с указанными ограничениями; затем все остальные получаются домножением на $k$ и перестановкой/сменой знаков.
- Невозможны тройки с обоими катетами нечётными: если $x,y$ нечётны, то $x^2+y^2\equiv 2(\mathrm{mod}4)$, а квадрат не бывает $\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ — поэтому таких тройок нет.
Дополнительные замечания
- Перестановка $x\leftrightarrow y$ достигается сменой мест $m^2-n^2$ и $2mn$ (то есть простой перестановкой $m,n$ или умножением на $i$ в $\mathbb{Z}[i]$).
- Знаки достигаются множителями $\pm 1$ и $\pm i$ в гауссовом описании или простым взятием отрицательных $k$ / $m,n$.
- Полное множество целых решений (включая вырожденные) можно записать: либо тривиальные $(0,\pm t,\pm t)$ и их перестановки, либо для некоторого целого $k$ и целых $m,n$ $$(x,y,z)=(k(m^2-n^2),k(2mn),k(m^2+n^2))$$ с учётом всех знаков и перестановок.
Если хотите, могу коротко привести доказательство полноты (от рационального параметра или через $\mathbb{Z}[i]$) и несколько примеров троек, которые явно «не попадают» под строгие дополнительные условия.