Кратко и по пунктам.
1) Сходимость ряда
- Рассматриваем ряд ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^p}$.
- Предел членов: $1/n^p\to 0$ тогда и только тогда, когда $p>0$. При $p\le 0$ общие члены не стремятся к нулю, ряд расходится.
2) Абсолютная сходимость
- Абсолютная сходимость эквивалентна сходимости ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$ (ряж p‑сери). Поэтому абсолютная сходимость при и только при $p>1$.
3) Условная сходимость
- Для $0<p\le 1$ ряд не является абсолютно сходящимся (п‑серия расходится), но выполняются условия теста Лейбница (члены $1/n^p$ монотонно убывают к 0), значит ряд сходится условно. Особый случай: $p=1$ — чередующийся гармонический ряд и его сумма равна $\ln 2$.
4) Значение суммы (замечание)
- Для $p>1$ сумма совпадает с функцией Дирихле: $\eta (p)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^p}$, и для $p>1$ справедливо соотношение $\eta (p)=(1-2^{1-p})\zeta (p)$.
5) Влияние перестановок
- Если ряд абсолютнο сходится ($p>1$), любая перестановка членов сохраняет сумму (требуется теорема о сохранении суммы при абсолютной сходимости).
- Если ряд условно сходится ($0<p\le 1$), действует теорема Римана о перестановках: существуют перестановки, приводящие к любому заданному конечному значению, а также к $+\infty$, $-\infty$ или к расходимости. (Конечно, конечные перестановки не меняют сумму.)
6) Применяемые теоремы (коротко)
- Тест Лейбница для чередующихся рядов (для $p>0$ даёт сходимость).
- Критерий сходимости p‑серии (абсолютная сходимость при $p>1$).
- Теорема Римана о перестановках условно сходящихся рядов.
- Дополнительно: связь с ζ‑ и η‑функциями при $p>1$.
Это всё, что нужно для классификации и свойств перестановок.