Уместные методы:
- метод множителей Лагранжа и его обобщение KKT для неравенств;
- метод проекций (проекция начала координат на допустимое множество);
- геометрический (найти ближайшую к началу координат точку на прямой внутри I квадранта);
- подстановка (свести к одномерной задаче и проверить границы).
Как учитывать ограничения $x\ge 0,y\ge 0$:
- Через KKT: выписать лагранжиан с неотрицательными множителями доп. ограничений
$$L=x^2+y^2+\lambda (x+2y-3)+{\mu }_1(-x)+{\mu }_2(-y),{\mu }_1,{\mu }_2\ge 0,$$ и условия стационарности и дополнительно комплементарная условие
$$2x+\lambda -{\mu }_1=0,2y+2\lambda -{\mu }_2=0,$$ $${\mu }_{1}x=0,{\mu }_{2}y=0.$$ Рассмотреть случаи (внутренняя точка ${\mu }_1={\mu }_2=0$ и граничные случаи с одним/двумя нулями) и выбрать минимум среди них.
- Через подстановку: $x=3-2y$, допустимы $0\le y\le 3/2$; минимизировать одномерную функцию $f(3-2y,y)=(3-2y{)}^2+y^2$ и сравнить с значениями на границах $y=0$ и $y=3/2$.
- Геометрически: спроецировать точку $(0,0)$ на прямую $x+2y=3$; если проекция лежит в первом квадранте, это решение, иначе ближайшая точка будет на границе (оси).
Кратко решение (пример применения):
- Внутренняя проверка (${\mu }_1={\mu }_2=0$): из стационарности $2x+\lambda =0,2y+2\lambda =0$ получаем $x=-\lambda /2,y=-\lambda$. Подставляя в $x+2y=3$ даёт $\lambda =-6/5$, поэтому
$$x=\frac{3}{5},y=\frac{6}{5},$$ оба неотрицательны, значит это допустимый минимум. Значение функции
$$f(\frac{3}{5},\frac{6}{5})=\frac{9}{25}+\frac{36}{25}=\frac{9}{5}.$$ - На границах: при $x=0$ имеем $y=3/2,f=9/4$; при $y=0$ $x=3,f=9$. Они хуже, чем найденный внутренний минимум.