$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1.$
Доказательства.
1) Геометрическое (непосредственное, через неравенства). Для $0<x<\frac{\pi }{2}$ на единичной окружности получают неравенства
$\sin x<x<\tan x.$ Разделив на $\sin x>0$ и взяв обратные, имеем
$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1.$ При $x\to 0$ правая и левая границы стремятся к $1$, поэтому по лемме о двух сторонах
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1.$
2) Через ряд Тейлора. Разложение при $x\to 0$:
$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3).$ Следовательно
$\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{6}+o(x^2)\to 1.$ (Требуется знание ряда/резидуального члена Тейлора для строгого обоснования.)
3) Через теорему о среднем значении (или правило Лопиталя). Для $x\ne 0$ применим МТФ к $\sin$ на отрезке $[0,x]$: существует $c\in (0,x)$ с
$\frac{\sin x-0}{x-0}=\cos c,$ то есть $\frac{\sin x}{x}=\cos c$. При $x\to 0$ имеем $c\to 0$ и $\cos c\to 1$, значит предел равен $1$.
(Аналогично: по правилу Лопиталя ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}={\lim }_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=\cos 0=1$.)
Преимущества подходов при обучении школьников.
- Геометрическое: интуитивно, иллюстративно, требует минимум анализа; хорошо для начального понимания поведения функции и для занятий с рисунком.
- Теорема о среднем значении / Лопиталя: короткое, демонстрирует применение дифференцирования; полезно для закрепления теорем анализа.
- Ряд Тейлора: дает представление о степени приближения и о порядке погрешности (полезно для оценок и последующих приближений), но требует более высокого уровня (ряды/остаточный член).
Каждый метод полезен: геометрическое объясняет «почему», МТФ показывает связь с производными, ряды дают количественную аппроксимацию.