Pусть $P(A)=0.6,P(B)=0.7$.
1) Для пересечения:
$$\max \{0,P(A)+P(B)-1\}\le P(A\cap B)\le \min \{P(A),P(B)\}.$$ Подставляя числа:
$$\max \{0,0.6+0.7-1\}=0.3\le P(A\cap B)\le \min \{0.6,0.7\}=\mathrm{0.6.}$$
Примеры крайних распределений (задать вероятности атомов):
- Минимум $P(A\cap B)=0.3$: возьмём атомы с вероятностями $P(A\cap B)=0.3,P(A\setminus B)=0.3,P(B\setminus A)=0.4$. Тогда $P(A)=0.3+0.3=0.6,P(B)=0.3+0.4=0.7$.
- Максимум $P(A\cap B)=0.6$ (A⊆B): возьмём $P(A\cap B)=0.6,P(B\setminus A)=0.1,P(\text{ни A ни B})=0.3$. Тогда $P(A)=0.6,P(B)=0.6+0.1=0.7$.
2) Для объединения используем формулу включения–исключения:
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$ Отсюда, применяя границы для $P(A\cap B)$,
$$\max \{P(A),P(B)\}\le P(A\cup B)\le \min \{1,P(A)+P(B)\}.$$ Подставляя числа:
$$0.7\le P(A\cup B)\le \mathrm{1.0.}$$
Примеры:
- Минимум $P(A\cup B)=0.7$ достигается при максимальном пересечении $0.6$ (A⊆B): тогда $P(A\cup B)=0.6+0.7-0.6=0.7$.
- Максимум $P(A\cup B)=1.0$ достигается при минимальном пересечении $0.3$: $P(A\cup B)=0.6+0.7-0.3=1.0$ (события покрывают всё пространство).
Краткий смысл неравенств: верхняя граница пересечения — это размер меньшего из событий (нельзя пересечься больше, чем весь меньший набор); нижняя граница вытекает из того, что суммы вероятностей не могут превышать 1 (чтобы избежать суммы>1, пересечение должно быть хотя бы $P(A)+P(B)-1$). Для объединения аналогично: она не может быть меньше большей из двух вероятностей и не может превышать 1 (или сумму вероятностей).