Кратко: пусть $T:V\to W$ — линейный и биективный (то есть инъективный и сюръективный) между конечномерными пространствами. Тогда для любого базиса $\mathcal{B}=\{v_1,\dots ,v_n\}$ пространства $V$ образ $T(\mathcal{B})=\{T(v_1),\dots ,T(v_n)\}$ — базис $W$. Ниже — необходимые шаги, где могут скрываться неявные предположения и корректная структурированная формулировка доказательства.
Неявные предположения, на которые следует обратить внимание:
- Под «сохранением базиса» обычно понимают: образ любого базиса является базисом (а не только существование какого‑то базиса, который сохраняется). Уточните формулировку.
- Для классического простого доказательства полезно иметь, что $T$ инъективен и сюръективен отдельно; биективность даёт оба свойства.
- Для бесконечномерных пространств нужно аккуратно работать с базисами (требуется аксиома выбора для существования базиса в общем случае). Здесь мы предполагаем конечномерность, так что все базы конечны и всякая линейная комбинация конечна.
Леммы, которые используются (коротко и доказуемо):
1) Если $T$ линейно и инъективно, то образ линейно независимой системы остаётся линейно независимым.
Доказательство: пусть $\{v_i\}$ линейно независимы и $\sum a_{i}T(v_i)=0$. Тогда $T(\sum a_i{v}_i)=0$. Инъективность даёт $\sum a_i{v}_i=0$. По независимости исходных векторов все $a_i=0$.
2) Если $T$ линейно и сюръективно, то образ порождающей системы порождает всё пространство мишени.
Доказательство: если $\{v_i\}$ порождает $V$, то для любого $w\in W$ найдётся $v\in V$ с $T(v)=w$; поскольку $v=\sum b_i{v}_i$, имеем $w=T(v)=\sum b_{i}T(v_i)$. Значит образы порождают $W$.
Корректное доказательство (схема):
- Пусть $\mathcal{B}=\{v_1,\dots ,v_n\}$ — базис $V$. Так как $T$ сюръективно, по лемме 2) множество $T(\mathcal{B})$ порождает $W$.
- Так как $T$ инъективно, по лемме 1) множество $T(\mathcal{B})$ линейно независимо.
- Следовательно $T(\mathcal{B})$ — базис $W$ (линейно независимо и порождает).
Дополнительные замечания:
- Обратное утверждение тоже верно: если $T$ линейно и образ некоторого базиса $V$ является базисом $W$, то $T$ биективно (инъективность из сохранения независимости, сюръективность из того, что образы порождают $W$). Поэтому «$T$ биективно ⇔ $T$ переводит базис в базис» (при условии конечномерности достаточно говорить об одном базисе, но удобно формулировать для любого базиса).
- Можно также использовать теорему о ранге и дефекте: для линейного $T:V\to W$ имеем $\dim V=\ker T+\mathrm{rank}T$. Для биекции $\ker T=\{0\}$ и $\mathrm{rank}T=\dim W$, откуда размеры базисов совпадают — дополнительное подтверждение корректности.
Итого: ключевые шаги — показать (1) образы порождают (сю), (2) образы независимы (инъ), и явно указать, что используются именно эти свойства биективности; при этом нужно явно сформулировать, что под «базисом» понимается конечная линейно независимая порождающая система (конечномерность облегчает рассуждение).