Коротко — формально и интуитивно.
Формальное определение:
- Функция $f$ дифференцируема в точке $a$, если существует конечный предел
$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$ - Левосторонняя производная в $a$ — это односторонний предел при $h\to 0-$:
$$f_{-}^{\prime }(a)=\underset{h\to 0-}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h},$$ правосторонняя — при $h\to 0+$:
$$f_{+}^{\prime }(a)=\underset{h\to 0+}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$ Функция дифференцируема в $a$ тогда и только тогда, когда оба односторонних предела существуют и равны.
Применение к $f(x)=|x|$ в точке $0$:
- Для $h>0$: $\frac{|h|-|0|}{h}=\frac{h}{h}=1$, значит $f_{+}^{\prime }(0)=1$.
- Для $h<0$: $\frac{|h|-|0|}{h}=\frac{-h}{h}=-1$, значит $f_{-}^{\prime }(0)=-1$.
Поскольку $f_{+}^{\prime }(0)\ne f_{-}^{\prime }(0)$, предел при $h\to 0$ не существует, следовательно $f$ не дифференцируема в $0$. При этом $f$ непрерывна в $0$ (значение и предел равны $0$).
Объяснение студенту без формул (интуитивно):
- Производная в точке — это наклон касательной в этой точке, или «наклон» ближних отрезков (секант), когда точки приближаются к данной.
- Для $|x|$ график — буква «V»: правая ветвь идёт под углом с наклоном $+1$, левая — с наклоном $-1$. Если подойти к вершине справа, секанты дают наклон $1$; если слева — наклон $-1$. Нельзя выбрать единственный общий наклон — значит нет единой касательной, а значит нет производной в точке $0$.
- Пример с числами: точки $(0,0)$ и $(0.1,0.1)$ дают наклон $1$; точки $(0,0)$ и $(-0.1,0.1)$ дают наклон $-1$. Разные наклоны — производной нет.