Кратко — два простых подхода: подстановка и дробное разложение. Покажу оба и обсужу преимущества.
1) Подстановка (быстро, если числитель пропорционален производной знаменателя).
Пусть $u=x^3+1$, тогда $du=3x^{2}dx$. Значит
$$\int \frac{x^2}{x^3+1}dx=\frac{1}{3}\int \frac{du}{u}=\frac{1}{3}\ln |u|+C=\frac{1}{3}\ln |x^3+1|+C.$$ Преимущество: очень коротко и прямо при совпадении формы числителя с $d(\text{знаменатель})$.
2) Дробное разложение (общий метод для рациональных функций).
Факторизуем знаменатель: $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$. Ищем
$$\frac{x^2}{x^3+1}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}.$$ Решая коэффициенты получаем $A=\frac{1}{3},B=\frac{2}{3},C=-\frac{1}{3}$. Тогда
$$\int \frac{x^2}{x^3+1}dx=\frac{1}{3}\int \frac{dx}{x+1}+\int \frac{\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}}{x^2-x+1}dx.$$ Заметим, что числитель второй дроби равен $\frac{1}{3}(2x-1)$, а $2x-1$ — производная знаменателя, поэтому
$$\int \frac{\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}}{x^2-x+1}dx=\frac{1}{3}\int \frac{2x-1}{x^2-x+1}dx=\frac{1}{3}\ln (x^2-x+1)+C.$$ В сумме снова получаем
$$\frac{1}{3}\ln |x+1|+\frac{1}{3}\ln (x^2-x+1)+C=\frac{1}{3}\ln |x^3+1|+C.$$
Когда какой метод предпочесть:
- Подстановка: предпочтительна, если числитель — константный множитель производной знаменателя (как здесь). Быстро и мало вычислений.
- Дробное разложение: универсальна для любых рациональных функций, нужна если простая подстановка не срабатывает (числитель не похож на производную знаменателя) или если знаменатель раскладывается на линейные/квадратичные множители; даёт явную сумму элементарных интегралов (логарифмы и арктангенсы).
- Доп. замечание: если степень числителя ≥ степени знаменателя — сначала провести деление многочленов, затем разложение. Если в разложении появляются неприводимые квадратичные множители с несоответствующим числителем, придётся дополнительно выделять часть для арктангенса.