Ответ:
- Точечная и почти везде: для каждого $x\in [0,1)$ выполняется ${\lim }_{n\to \infty }{x}^n=0$, для $x=1$ — ${\lim }_{n\to \infty }{1}^n=1$. Предельная функция
$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}^n=\{\begin{array}{ll}0,& 0\le x<1,\\ 1,& x=1.\end{array}$$ Следовательно, сходимость почти всюду (единственная «плохая» точка $x=1$ имеет меру ноль).
- Равномерная сходимость: на всём отрезке $[0,1]$ сходимость неравномерна, так как
$$\underset{x\in [0,1]}{\sup }|x^n-f(x)|=\underset{0\le x<1}{\sup }{x}^n=1\nrightarrow 0.$$ Однако на любом отрезке $[0,a]$ с $a<1$ сходимость равномерна, так как ${\sup }_{x\in [0,a]}{x}^n=a^n\to 0$.
- Интегралы и перестановка предела и интеграла: для всех $n$ $${\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}\to 0.$$ При этом ${\int }_0^{1}f(x)dx=0$ (точка $x=1$ не влияет на интеграл). Поэтому ${\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^1{x}^n={\int }_0^1{\lim }_{n\to \infty }{x}^n$. Обоснование: можно применить теорему о доминированной сходимости — $0\le x^n\le 1$ и функция $g\equiv 1$ интегрируема на $[0,1]$. (Альтернативно: для последовательности $1-x^n$ можно применить теорему монотонной сходимости.)
- Дополнительно: имеет место сходимость в норме $L^1$:
$$\Vert x^n-f{\Vert }_{L^1}={\int }_0^1|x^n-f(x)|dx={\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}\to 0.$$ По теореме Его́рова, из сходимости почти всюду на конечной мере следует почти равномерная сходимость: для любого $\epsilon >0$ существует множество меры $<\epsilon$, вне которого сходимость равномерна.