Лучший практический подход — гибрид: сначала взять надёжный брукет (например $[0,1]$), затем после нескольких шагов бисекции или сразу взять середину и запустить метод Ньютона или секант. Пояснения и сравнение методов.
Функция и корень:
$f(x)=\cos x-x$, единственный вещественный корень $x^{\ast }\approx 0.7390851332151607$ (так как $f(0)=1>0,f(1)=\cos 1-1<0$).
Методы и их свойства
1) Метод Ньютона
- Итерация: $$x_{n+1}=x_n-\frac{\cos x_n-x_n}{-\sin x_n-1}=x_n+\frac{\cos x_n-x_n}{1+\sin x_n}.$$ - Сходимость: квадратичная при достаточно близком $x_0$ (быстро даёт двойной порядок точности).
- Требует вычисления $\sin x_n$ и $\cos x_n$ (или производной), может нестабильно при близости к нулю производной $f^{\prime }(x)=-1-\sin x$ (деление на малое). Для интервала $[0,1]$ $f^{\prime }(x)\in [-1.841,-1]$, поэтому внутри этого интервала метод безопасен и очень быстрый.
- Рекомендуется, если есть хорошее начальное приближение (или бракет гарантирует, что начальное приближение в безопасном интервале).
2) Итерация простым отображением $x_{n+1}=g(x_n)$ - Естественный выбор: $g(x)=\cos x$, итерация $$x_{n+1}=\cos x_n.$$ - Сходимость: линейная (фиксированная скорость). Условие сжатия на $[0,1]$: $|g^{\prime }(x)|=|-\sin x|\le \sin 1\approx 0.84<1$, поэтому на $[0,1]$ итерация является сжатием и гарантированно сходится к корню. Скорость определяется константой $g^{\prime }(x^{\ast })=-\sin x^{\ast }\approx -0.674$.
- Преимущества: простота, только вычисление $\cos$.
- Недостатки: медленнее, чем Ньютон (линейная vs квадратичная), иногда не сходится при других вариантах $g$.
3) Бисекция
- Требует брукета $[a,b]$ с $f(a)f(b)<0$. Итерация: деление пополам, выбор подинтервала по знаку.
- Сходимость: гарантия сходимости, монотонное уменьшение длины интервала вдвое (линейно: погрешность $\le (b-a)2^{-n}$ после $n$ шагов).
- Преимущества: полностью надёжен, не требует производной.
- Недостатки: медленный (количество правильных знаков растёт медленно), но предсказуем.
Практическая рекомендация
- Если нет никаких данных — взять $[0,1]$ (так как там меняется знак) и применить 1–5 шагов бисекции, чтобы обеспечить хороший брукет/приближение, затем переключиться на метод Ньютона (или секант, если нельзя вычислять производную). Это сочетает надёжность и скорость.
- Если вы уже уверены, что начальное $x_0\in [0,1]$ (например $x_0=0.7$), можно сразу применять Ньютон — несколько итераций дадут полную машинную точность.
- Если нужна простота и допускается медленная сходимость — $x_{n+1}=\cos x_n$ гарантированно сойдётся из любого $x_0\in [0,1]$.
Кратко по сравнению: бисекция — надёжно, медленно; простая итерация $x_{n+1}=\cos x_n$ — проста и гарантированно сходится на $[0,1]$ (линейно); Ньютон — очень быстрый (квадратично) при хорошем старте, но требует производной и корректного начального приближения.