Решение неравенства и обязательные проверки (сжато):
1) Запись неравенства и область определения:
- Неравенство: $\ln (x^2-3x+2)>0$.
- Область определения логарифма: аргумент должен быть положителен, т.е. $x^2-3x+2>0$. Так как $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$, получаем $x<1$ или $x>2$.
2) Преобразование с учётом монотонности $\ln$:
- Функция $\ln$ строго возрастает, поэтому $\ln u>0⟺u>1$ (при этом $u>1$ автоматически даёт $u>0$, но проверка области определения всё равно обязательна на этапе решения).
- Следовательно решаем $x^2-3x+2>1$, т.е. $x^2-3x+1>0$.
3) Решение квадратного неравенства:
- Корни уравнения $x^2-3x+1=0$ равны $x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$.
- Значит $x^2-3x+1>0$ при $x<\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ или $x>\frac{3+\sqrt{5}}{2}$.
4) Пересечение с областью определения:
- Пересекаем с $x<1$ или $x>2$. Получаем итог:
$$x\in (-\infty ,\frac{3-\sqrt{5}}{2})\cup (\frac{3+\sqrt{5}}{2},+\infty ).$$ - Замечание: точки $x=1,2$ исключены (аргумент =0), точки $x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$ дают аргумент =1 и соответствуют $\ln =0$, поэтому при строгом неравенстве они не включаются.
Наиболее частые логические ошибки и обязательные проверки:
- Ошибка: считать, что $\ln u>0$ эквивалентно $u>0$. Правильно: $\ln u>0⟺u>1$; $u>0$ — только область определения.
- Ошибка: забыть пересечь решение полученного неравенства с областью определения логарифма (включая исключение точек, где аргумент $=0$).
- Ошибка: включать точки, дающие аргумент $=1$ (они дают $\ln =0$, не подходят при строгом >0).
- Ошибка: при преобразованиях (деление, возведение в квадрат и т.д.) не учитывать знак множителей — могут появиться посторонние решения или потеря решений.
- Ошибка: неверно вычислить корни/дискриминант квадратного уравнения.
Обязательная проверка при любом решении с логарифмами:
- Проверить область определения (аргумент $>0$) до/после преобразований.
- При переходе через монотонную функцию явно записать эквивалентное неравенство для аргумента ($\ln$ — возрастание, экспонента — тоже).
- Найденные решения пересечь с областью определения и исключить точки, где аргумент $=0$ или даёт нежелимое равенство (например аргумент $=1$ при строгом $\ln >0$).