Кратко — сравнение, формулы и устойчивость.
Геометрический метод (компас и линейка)
- Построение: пусть $C(a,b)$ — центр окружности радиуса $r$, $P(x_0,y_0)$ — точка вне окружности ($|PC|>r$). Проведите отрезок $CP$ и постройте окружность с диаметром $CP$. Точки пересечения этой окружности с данной окружностью — искомые точки касания $T_1,T_2$; прямые $P{T}_1,P{T}_2$ — искомые касательные. Обоснование: для пересечения $T$ угол $\angle CTP=90^{\circ }$, значит $PT$ перпендикулярна $CT$ и поэтому касательна.
- Плюсы: простой, наглядный, не требует вычислений.
- Минусы: ограниченная точность инструментами, ошибки при построении (особенно если $P$ близко к окружности, пересечения почти сливаются).
Аналитический метод (через квадратное уравнение)
- Классический вывод через наклон $m$: прямая через $P$: $y=m(x-x_0)+y_0$. Условие касания — расстояние от $C$ до прямой равно $r$, или эквивалентно дискриминанту при подстановке в уравнение окружности равному нулю. Получаем квадратное уравнение для $m$ $$m^2((a-x_0{)}^2-r^2)-2m(a-x_0)(b-y_0)+(b-y_0{)}^2-r^2=0.$$ Дискриминант этого уравнения равен
$${\Delta }_m=4r^2((a-x_0{)}^2+(b-y_0{)}^2-r^2),$$ он положителен тогда и только тогда, когда $P$ вне окружности.
- Более устойчивая явная формула точек касания (без проблем с вертикальными наклонами) через векторы. Пусть $\mathbf{v}=P-C=(x_0-a,y_0-b)$, $d=\Vert \mathbf{v}\Vert =\sqrt{(x_0-a{)}^2+(y_0-b{)}^2}$, $t=\sqrt{d^2-r^2}$. Обозначим единичный вектор $\mathbf{u}=\mathbf{v}/d$ и его перпендикуляр $\mathbf{w}=(-u_y,u_x)$. Тогда точки касания
$$T_{\pm }=C+\frac{r^2}{d}\mathbf{u}\pm \frac{rt}{d}\mathbf{w}.$$ Это эквивалентно повороту направления $CP$ на угол $\pm \alpha$, где $\cos \alpha =r/d$; формула численно устойчива за исключением вырожденного случая $d\to 0$.
Устойчивость и чувствительность
- Главная неустойчивость — при $P$ близко к окружности: если $d-|r|$ мал (тогда $t=\sqrt{d^2-r^2}$ мал), малые ошибки в координатах могут сильно смещать точки касания. При малом $t$ относительная чувствительность при изменении $d$ примерно увеличивается как
$$\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}d}=\frac{d}{t},$$ т. е. фактор усиления ошибок порядка $d/t\gg 1$.
- В аналитическом варианте с наклоном $m$ дополнительно возникают численные проблемы при близком к нулю знаменателе $A=(a-x_0{)}^2-r^2$ (очень большие $m$), и возможные катастрофические вычитания при вычислении корней квадратичного уравнения. Поэтому при реализации лучше не использовать простое решение по $m$, а применять векторную формулу выше или параметризацию.
- Геометрическое построение тоже испытывает ту же базовую неустойчивость при $d\approx r$: пересечение двух окружностей становится неустойчивым (двойной/касательный случай). Но при умеренных погрешностях и «некрайнем» положении $P$ геометрический метод даёт достаточно надёжную картинку и интуитивно простую процедуру.
Рекомендации
- Для практических вычислений и программ — использовать векторную формулу $T_{\pm }=C+\frac{r^2}{d}\mathbf{u}\pm \frac{rt}{d}\mathbf{w}$ (устойчива к вертикальным прямым и обычно лучше численно).
- Для ручного построения — метод окружности с диаметром $CP$ (быстро и наглядно), но учесть, что при $P$ очень близко к окружности результат чувствителен к измерениям.
- Всегда проверять условие внешности точки: $d>r$. Если $d$ близко к $r$, ожидать высокий уровень погрешности и по возможности повысить точность исходных данных.