Утверждение. Если последовательность $x_n$ сходится к пределу $x$, то любая её подпоследовательность $x_{n_k}$ сходится к тому же $x$.
Доказательство (топологическое, покрывает метрические пространства). Пусть $x_n\to x$. По определению: для всякого окрестности $U$ точки $x$ существует $N\in \mathbb{N}$ такое, что для всех $n\ge N$ выполнено $x_n\in U$. Пусть $x_{n_k}$ — подпоследовательность, где $n_1<n_2<\dots$. Так как $n_k\to \infty$ при $k\to \infty$, найдётся $K$ с $n_K\ge N$. Тогда для всех $k\ge K$ имеем $x_{n_k}\in U$. Это верно для любой окрестности $U$ точки $x$, значит $x_{n_k}\to x$. (В метрическом пространстве то же доказывается через $\epsilon$-определение: из $\forall \epsilon >0\exists N\forall n\ge N:d(x_n,x)<\epsilon$ следует аналогичное для $x_{n_k}$.)
Уточнение о единственности предела. В метрическом (а более общо — в хаусдорфовом (T2)) пространстве предел последовательности, если он существует, единственен. В не-Hausdorff-пространствах последовательность может иметь несколько пределов; тогда любое утверждение «подпоследовательность сходится к тому же пределу» остаётся верным в смысле: каждая подпоследовательность сходится ко всем тем же точкам, к которым сходилась исходная последовательность. Пример: в индискретной (тривиальной) топологии на множестве $X$ всякая последовательность сходится к каждой точке $X$.
Контрпримеры для возможных обобщений и обратных утверждений
- Обратное неверно: если некоторая подпоследовательность сходится, это не влечёт сходимости всей последовательности. Пример: $x_n=(-1{)}^n$. Подпоследовательность чётных членов $x_{2k}=1$ сходится к $1$, но $x_n$ не сходится.
- Свойство «каждая подпоследовательность имеет сходящуюся подподпоследовательность» не влечёт сходимости исходной последовательности. Пример тот же: $x_n=(-1{)}^n$ — любая подпоследовательность содержит константную подпоследовательность, сходящуюся к $1$ или $-1$, но сам $x_n$ не сходится.
- В пространствах, где последовательности не описывают всю топологию (не sequential spaces), поведение последовательностей может не отражать замыкания и непрерывность; потому в очень общих топологиях аргументы, основанные только на последовательностях, ограничены.
Дополнительные условия — ослабления и усиления
- Ослабление: метрическое пространство не требуется — достаточно общей топологии (доказательство выше использует только определение с окрестностями).
- Усиление для уникальности: чтобы гарантировать единственность предела, потребуйте Hausdorff (T2).
- Аналог для сетей (nets) и подсетей (subnets): если сеть сходится к $x$, то любая её подсеть сходится к $x$. Это общий способ формулировать ту же идею в топологиях без счётности.
- В контексте компактности и предкомпактности: в метрических пространствах (или более общо в последовательностно компактных пространствах) из любой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность (Больцано—Вейерштрасс), но это не даёт сходимости исходной последовательности без дополнительной информации.
Краткий итог: утверждение верно в любой топологии; в метрических и Hausdorff-пространствах предел при этом единственен. Обратные утверждения и некоторые обобщения (например, «наличие сходящихся подпоследовательностей» в общем не даёт сходимости исходной последовательности) — ложны, примеры приведены выше.