Кратко — методы и алгоритмы.
1) Теоретические условия (миноры)
- Поскольку $\det A=0$, ранг $\le 2$.
- Ранг равен 1 тогда и только тогда, когда все $2\times 2$-миноры равны нулю и $A\ne 0$:
$$\mathrm{rank}A=1⟺\text{все}\det \left(\begin{array}{cc}{A}_{i_1{j}_1}& A_{i_1{j}_2}\\ A_{i_2{j}_1}& A_{i_2{j}_2}\end{array}\right)=0\text{и}A\ne 0.$$ - Если существует хотя бы один ненулевой $2\times 2$-минор, то $\mathrm{rank}A=2$ (при $\det A=0$).
2) Метод Гаусса / RREF (быстрый и простой, точен в символьных вычислениях)
- Получить приведённую ступенчатую форму $R=\mathrm{rref}(A)$ обычным исключением Гаусса.
- Число ведущих столбцов (пивотов) равно рангу.
- Если число пивотов = 1, то ранг = 1.
- Если число пивотов = 2, то ранг = 2.
- Восстановление базиса образа (столбцового пространства):
- Пусть $P=\{j_1,\dots ,j_k\}$ — индексы пивот‑столбцов в $R$. Тогда столбцы $A[:,j_1],\dots ,A[:,j_k]$ образуют базис образа A.
(Замечание: при только строковых операциях зависимости между столбцами сохраняются, поэтому пивот‑столбцы исходной $A$ дают базис.)
3) SVD (наиболее устойчиво в численных вычислениях)
- Разложение $A=U\Sigma V^T$, где $\Sigma =\mathrm{diag}({\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3)$, ${\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge {\sigma }_3\ge 0$.
- Оценка ранга: пусть порог $\text{tol}=\max (\dim )\cdot {\sigma }_1\cdot {\epsilon }_{\text{mach}}$ (или просто относительный порог). Тогда
$$\mathrm{rank}A=\#\{{\sigma }_i>\text{tol}\}.$$ - Если только ${\sigma }_1>\text{tol}$ (и ${\sigma }_2,{\sigma }_3\le \text{tol}$) — ранг 1.
- Если ${\sigma }_1,{\sigma }_2>\text{tol}$, ${\sigma }_3\le \text{tol}$ — ранг 2.
- Базис образа: первые $k$ столбцов $U$ (соответствующие ненулевым $\sigma$) — ортонормированный базис образа. Для ранга 1 образ = span$\{u_1\}$; для ранга 2 — span$\{u_1,u_2\}$.
4) Через ядро (альтернативно)
- Решить $Ax=0$. Тогда $\dim \ker A=3-\mathrm{rank}A$.
- Если $\dim \ker A=2$ — ранг 1.
- Если $\dim \ker A=1$ — ранг 2.
- Базис образа можно получить как любой набор линейно независимых столбцов $A$ (найти pivot‑столбцы через RREF) либо как ортонормированные левые сингулярные векторы из SVD.
5) Восстановление явной структуры при ранге 1
- При $\mathrm{rank}A=1$ существует $u,v\ne 0$ такие, что $A=u{v}^T$. Практически: возьмите любой ненулевой столбец $a_j$ и положите $u=a_j$. Для каждого столбца найдите скаляр $c_i$ такой, что $A[:,i]=c_{i}u$ (решая простую систему или по координатам). Тогда $v=(c_1,c_2,c_3{)}^T$.
Рекомендации по выбору метода:
- Для точных (символьных) вычислений: проверка $2\times 2$-миноров или RREF.
- Для численных/шумных данных: SVD (устойчивый критерий и ортонормированный базис).
- Для быстрого построения базиса в практических задачах достаточно RREF и выбор пивот‑столбцов.
Это всё — краткие методы, критерии и алгоритмы восстановления базиса образа.