Рассматриваем ряд $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$, где $a_n=\frac{(-1{)}^n}{n}$.
1) Сходимость (обычная, условная).
Пусть $b_n=\frac{1}{n}$. Последовательность $b_n$ монотонно убывает и стремится к нулю. По признаку Лейбница ряд $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{b}_n$ сходится. Следовательно ряд $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n}$ сходится.
2) Абсолютная сходимость.
Рассмотрим ряд абсолютных значений: $\sum _{n=1}^{\infty }|a_n|=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$. Это гармонический ряд, он расходится (например по интегральному признаку или по класcическому сравнению). Значит исходный ряд не сходится абсолютно, а лишь условно.
3) Значение суммы.
Из разложения $\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}\frac{x^n}{n}$ при $x=1$ получаем $\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}\frac{1}{n}$. Поэтому
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n}=-\ln 2.$$
Итог: ряд сходится условно (не абсолютно) и его сумма равна $-\ln 2$.