Обозначим площади малых треугольников
$S_A=[PBC]$, $S_B=[PCA]$, $S_C=[PAB]$ и полную площадь треугольника
$S=S_A+S_B+S_C$.
1) Положение P в барицентрических координатах:
${\lambda }_A=\frac{S_A}{S},{\lambda }_B=\frac{S_B}{S},{\lambda }_C=\frac{S_C}{S}.$ Если заданы координаты вершин $A,B,C$, то
$P={\lambda }_{A}A+{\lambda }_{B}B+{\lambda }_{C}C,$ откуда
$PA=\Vert P-A\Vert ,PB=\Vert P-B\Vert ,PC=\Vert P-C\Vert .$
2) Расстояния до сторон (не до вершин) восстанавливаются частично:
если известна длина стороны $BC$, то расстояние от $P$ до $BC$ $h_a=\frac{2S_A}{|BC|}$ (аналогично для других сторон).
3) Необходимые дополнительные данные для уникальности:
- чтобы однозначно восстановить метрические расстояния $PA,PB,PC$, нужно знать метрическую структуру треугольника ABC — например координаты вершин $A,B,C$ или хотя бы длины сторон (треугольник по сторонам однозначно задаётся с точностью до движения).
- если известна только сумма площадей (т. е. сама площадь ABC) без информации о форме (сторонах/углах), то три заданные площади определяют только барицентрические координаты P внутри некоторого треугольника заданной площади, но не однозначные расстояния до вершин — решений бесконечно много.
Кратко: площади дают барицентрики ${\lambda }_A:{\lambda }_B:{\lambda }_C=S_A:S_B:S_C$. Для перехода от барицентрик к реальным расстояниям до вершин необходимы дополнительные метрические данные о треугольнике ABC (координаты или длины сторон).