Коротко и по делу — несколько подходов, выбор замены и оценка погрешностей.
1) Замена $x=\tan t$ (оптимальна для $1+x^2$)
$$x=\tan t,dx={\sec }^{2}tdt,1+x^2={\sec }^{2}t$$ тогда
$$I={\int }_0^1\frac{\ln (1+x^2)}{1+x^2}dx={\int }_0^{\pi /4}\ln ({\sec }^{2}t)dt=2{\int }_0^{\pi /4}\ln (\sec t)dt=-2{\int }_0^{\pi /4}\ln (\cos t)dt.$$ Используя ряд Фурье $\ln (\cos t)=-\ln 2-{\sum }_{n\ge 1}\frac{(-1{)}^n\cos (2nt)}{n}$ и интегрирование покомпонентно получаем через постоянную Каталана
$$G=\sum _{m=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^m}{(2m+1{)}^2}$$ что даёт точное выражение
$$I=\frac{\pi }{2}\ln 2-G.$$ Численно $I\approx 0.172828$ (так как $G\approx 0.915965594$).
Оценка погрешности при аппроксимации суммой первых $N+1$ членов ряда для $G$: остаток знакоперемённого ряда ограничен модулем следующего члена, поэтому
∣G−∑m=0N(−1)m(2m+1)2∣≤1(2N+3)2, \left|G-\sum_{m=0}^N\frac{(-1)^m}{(2m+1)^2}\right|\le\frac{1}{(2N+3)^2},
G−m=0∑N (2m+1)2(−1)m ≤(2N+3)21 , и та же оценка применима к $I$.
2) Ряд в переменной $x$ (прямое разложение)
$$\ln (1+x^2)=\sum _{m=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{m-1}{x}^{2m}}{m}(|x|\le 1),$$ и можно разложить $\frac{1}{1+x^2}={\sum }_{k=0}^{\infty }(-1{)}^k{x}^{2k}$. Перемножив и проинтегрировав почленно, получаем двойной ряд для $I$, который сводится к быстро убывающему знакоперемённому ряду по степеням $x$. При трaнкации остаток можно оценить через абсолютный остаток ряда логарифма и геометрической прогрессии; в частности для усечения после степени $2M$ ошибка O$(1/M)$ или можно получить конкретные численные границы через явный остаток геометрического и логарифмического рядов.
3) Численные методы и оценка погрешности
- Прямое численное интегрирование (Simpson, Gauss): функция гладкая на $[0,1]$, можно взять правило Симпсона с $n$ отрезками; погрешность Симпсона оценима как
$$|E|\le \frac{(b-a{)}^5}{180n^4}\underset{[0,1]}{\max }|f^{(4)}(x)|,$$ где $f^{(4)}$ легко оценить на $[0,1]$.
- Сравнение с точным выражением из пункта 1 позволяет контролировать погрешность аппроксимации.
Резюме: самый короткий и прозрачный путь — $x=\tan t$, что даёт точную формулу $I=\frac{\pi }{2}\ln 2-G$ и численное значение $\approx 0.172828$. Погрешность при усечении ряда для $G$ не превышает следующего члена: $\le 1/(2N+3{)}^2$.