Кратко — оптимальный метод: использовать симметрические суммы или подстановку $y=\frac{c}{x}$. Оба приводят к очевидным критериям существования и явным формулам.
1) Симметрический способ (рекомендуемый). Пусть $s=x+y$, $p=xy=c$. Тогда
$$x^2+y^2=s^2-2p=r^2\Rightarrow s^2=r^2+2c,$$ $$\text{и}x,y\text{— корни квадратичного уравнения}{t}^2-st+c=0.$$ Дискриминант этого уравнения
$$D=s^2-4c=r^2-2c.$$ Отсюда явные формулы:
$$s=\pm \sqrt{r^2+2c},x,y=\frac{s\pm \sqrt{r^2-2c}}{2}.$$
2) Альтернатива (подстановка). Подставив $y=c/x$ получаем для $u=x^2$:
$$u^2-r^{2}u+c^2=0,$$ с дискриминантом
$${\Delta }_u=r^4-4c^2=(r^2-2c)(r^2+2c),$$ что даёт те же условия на $c,r$.
3) Условия существования (реальные решения). Необходимы и достаточны обе неотрицательности:
$$r^2+2c\ge 0\text{и}{r}^2-2c\ge 0,$$ эквивалентно
$$-\frac{r^2}{2}\le c\le \frac{r^2}{2}.$$ Если это не выполнено — реальных решений нет.
4) Число и кратность решений (для вещественных координат, считаем упорядоченные пары $(x,y)$):
- Если $|c|<\frac{r^2}{2}$ (строго): оба корня уравнения для $u=x^2$ положительны и различны ⇒ получаем 4 различных упорядоченных решения:
$$(x,y)=(\pm \sqrt{u_1},c/\pm \sqrt{u_1}),(\pm \sqrt{u_2},c/\pm \sqrt{u_2}).$$
- Если $|c|=\frac{r^2}{2}$ и $r\ne 0$: дискриминант равен нулю, $u_1=u_2=\frac{r^2}{2}$. Получаем ровно 2 упорядоченных решения:
- при $c=+\frac{r^2}{2}$: $(\frac{r}{\sqrt{2}},\frac{r}{\sqrt{2}})$ и $(-\frac{r}{\sqrt{2}},-\frac{r}{\sqrt{2}})$;
- при $c=-\frac{r^2}{2}$: $(\frac{r}{\sqrt{2}},-\frac{r}{\sqrt{2}})$ и $(-\frac{r}{\sqrt{2}},\frac{r}{\sqrt{2}})$.
- Частный случай $r=0$: из $x^2+y^2=0$ следует $x=y=0$, значит решение есть лишь при $c=0$ (единственное решение $(0,0)$); при $c\ne 0$ решений нет.
- Если $|c|>\frac{r^2}{2}$: нет вещественных решений.
5) Практическая стратегия:
- Проверить условие $-\frac{r^2}{2}\le c\le \frac{r^2}{2}$. Если нет — завершить (нет решений).
- Если да — вычислить $s=\sqrt{r^2+2c}$ (берём положительную коренную) и $D=r^2-2c$.
- При $D>0$ получить два значения для $(x,y)$ из $x,y=(s\pm \sqrt{D})/2$ и дополнительно их переставления (итого 4 упорядоченных пары); при $D=0$ — два решения как выше; при $r=0,c=0$ — одно решение.
Это даёт простые явные формулы, полный критерий существования и подсчёт кратности решений.