Кратко — набор рабочих процедур и критериев (без явного вычисления корней).
1) Факты напоминание
- Для многочлена степени 5 с вещественными коэффициентами $p(x)=a_5{x}^5+a_4{x}^4+\cdots +a_0$ обязательно есть хотя бы один действительный корень (нечётная степень). Поведение на бесконечностях определяется знаком $a_5$.
2) Проверка кратных корней
- Найдите $g(x)=\gcd (p(x),p^{\prime }(x))$. Если $\mathrm{deg}g\ge 1$ (или дискриминант $\Delta (p)=0$), есть кратные корни. Если $\Delta \ne 0$ — все корни простые.
3) Оценки числа положительных/отрицательных корней — правило Декарта
- Число положительных корней (с учётом кратности) не превосходит числа изменений знака в последовательности коэффициентов $p(x)$; разность с истинным числом — чётно.
- Число отрицательных корней оценивают по $p(-x)$.
4) Верхние оценки на отрезках — Будан–Фурье
- Для отрезка $(a,b]$ вычисляют последовательность значений производных $p,p^{\prime },p^{\prime \prime },\dots ,p^{(5)}$ в концах и число изменений знака; это даёт верхнюю оценку на число корней в интервале (точность как у Декарта — изм. на чётное число).
5) Точный подсчёт — теорема Шторма (рекомендуется)
- Постройте последовательность Шторма:
$$p_0=p,p_1=p^{\prime },p_{k+1}=-\mathrm{rem}(p_{k-1},p_k)$$ пока не получите нуль. Для любого $t$ обозначьте $V(t)$ число изменений знака в последовательности $p_0(t),p_1(t),\dots$.
- Тогда число различных действительных корней в интервале $(a,b]$ равно $V(a)-V(b)$. Для всей оси можно взять пределы $a\to -\infty$, $b\to +\infty$ (на практике — достаточно больших по абсолютной величине чисел).
- Шторм даёт точное число (учитывает кратные корни корректно только если перед этим убраны общие множители; если есть кратные корни, сперва вычислите $\gcd$ и разделите).
6) Практические приёмы и ускорения
- Сначала примените Декарт/Будан, чтобы получить быстрые верхние/нижние оценки и локализовать интервалы; затем примените Шторм на каждом интервале для точного подсчёта.
- Для численного определения количества действительных корней удобно вычислить собственные значения companion-матрицы (численные ЭВМ-методы дают знаки мнимой части и позволяют быстро посчитать реальные корни).
- Интервальная бисекция с тестом Шторма позволяет изолировать и подсчитать корни без их явного нахождения.
7) Про дискриминант и знак дискриминанта
- $\Delta (p)=0$ ⇔ есть кратные корни. Сам по себе знак $\Delta$ для степени 5 не даёт прямой однозначной информации о точном числе действительных корней (в отличие от некоторых низших степеней), поэтому полагаться на него нельзя как на основной критерий.
Рекомендуемая последовательность на практике: вычислить $\gcd (p,p^{\prime })$ (проверка кратных корней), получить быстрые оценки Декарта (положит./отриц.), затем применить последовательность Шторма для точного подсчёта и/или изоляции корней; при необходимости подтвердить численно через companion-матрицу.